Question

【題目】如圖1，一次函數的圖像與軸交于點，與軸交于點，過點作線段且，交軸于點．

（1）點的坐標軸__________，點的坐標軸__________；

（2）直接寫出點的坐標軸__________，并求出直線的函數關系式；

（3）若點是圖1中直線上的一點，連接，得到圖2，當點在第二象限，且到軸，軸的距離相等時，直接寫出的面積；

（4）若點是圖1中坐標平面內不同于點、點的一點，當以點，，為頂點的三角形與全等時，直接寫出點的坐標．

Answer 1

【答案】（1）；（2），；（3）3；（4）或或

【解析】

（1）將x=0和y=0分別代入一次函數解析式中，即可分別求出點A、B的坐標；

（2）過點C作CM⊥x軸于M，利用AAS證出△AOB≌△BMC，從而得出OB=CM=1，OA=MB=2，即可求出點C的坐標，然后設直線AC的解析式為y=kx＋b，將點A、C的坐標代入即可求出該解析式；

（3）過點P作PN⊥y軸于點N，根據題意可設點P的坐標為（-a， a），將點P代入直線AC的解析式中即可求出點P的坐標，從而求出PN的長，然后根據三角形的面積公式計算即可；

（4）先求出點D的坐標，然后根據點Q的位置和全等三角形的對應情況分類討論，分別畫出對應的圖形，根據全等三角形的性質、等腰直角三角形的性質和平移規律分別求點Q的坐標即可．

解：（1）∵一次函數的圖像與軸交于點，與軸交于點，

∴當x=0時，解得y=2；當y=0時，解得x=1

∴點A的坐標為（0,2），點B的坐標為（1,0）

故答案為：（0,2）；（1,0）；

（2）過點C作CM⊥x軸于M

∴∠AOB=∠BMC=∠ABC=90°

∴∠OAB＋∠ABO=90°，∠MBC＋∠ABO=180°－∠ABC=90°

∴∠OAB=∠MBC

在△AOB和△BMC中

∴△AOB≌△BMC

∴OB=CM=1，OA=MB=2

∴OM=OB＋MB=3

∴點C的坐標為（3,1）

故答案為：（3,1）；

設直線AC的解析式為y=kx＋b

將A、C兩點的坐標代入，得

解得：

∴直線AC的解析式為

（3）過點P作PN⊥y軸于點N

∵點在第二象限，且到軸，軸的距離相等

可設點P的坐標為（-a， a）

將點P的坐標代入直線AC的解析式中，得

解得：

∴點P的坐標為（-3，3）

∴PN=3

∴S△AOP=OA·PN=×2×3=3

（4）將y=0代入直線AC的解析式中，解得x=6

∴點D的坐標為（6,0）

①當點Q在直線AC的上方，且△QDC≌△BCD時，如下圖所示

∴∠BDC=∠QCD，CQ=BD=6－1=5

∴CQ∥x軸

∴點Q可看成由點C向右平移5個單位長度

∴此時點Q的坐標為（8,1）；

②當點Q在直線AC的上方，且△QCD≌△BCD時，如下圖所示

∴QC = BC，∠QCD=∠BCD

∴∠QCA=∠BCA

∵∠ABC=90°，BA=BC

∴△ABC為等腰直角三角形，QC=BA

∴∠BAC=∠BCA=∠QCA=45°

∴QC∥AB

∴QC可看成AB平移得出

∵點B（1,0）到點C（3,1）的平移方式為：先向右平移2個單位，再向上平移1個單位

∴點Q是由點A（0,2）先向右平移2個單位，再向上平移1個單位

∴此時點Q的坐標為（2,3）；

③當點Q在直線AC的下方，且△QDC≌△BCD時，如下圖所示

∴QD=BC，∠QDC=∠BCD

∵∠ABC=90°，BA=BC

∴△ABC為等腰直角三角形，QD=BA

∴∠BAC=∠BCA =45°，

∴∠BCD=180°－∠BCA=135°

∴∠QDC=135°

∴∠QDC＋∠BAC=180°

∴QD∥BA

∴QD可看成BA平移得出

∵點A（0,2）到點D（6,0）的平移方式為：先向右平移6個單位，再向下平移2個單位

∴點Q是由點B（1,0）先向右平移6個單位，再向下平移2個單位

∴此時點Q的坐標為（7,-2）；

④當點Q在直線AC的下方，且△QCD≌△BCD時，此時點Q與點B重合，不符合題意，舍去．

綜上所述：點Q的坐標為或或．