Question

【題目】如圖，AB是半圓O的直徑，點P是BA延長線上一點，PC是⊙O的切線，切點為C，過點B作BD⊥PC交PC的延長線于點D，連接BC．求證：

（1）∠PBC=∠CBD；
（2）BC2=ABBD．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接OC，

∵PC與圓O相切，

∴OC⊥PC，即∠OCP=90°，

∵BD⊥PD，

∴∠BDP=90°，

∴∠OCP=∠PDB，

∴OC∥BD，

∴∠BCO=∠CBD，

∵OB=OC，

∴∠PBC=∠BCO，

∴∠PBC=∠CBD；

（2）證明：連接AC，

∵AB為圓O的直徑，∴∠ACB=90°，

∴∠ACB=∠CDB=90°，

∵∠ABC=∠CBD，

∴△ABC∽△CBD，

∴

則BC2=ABBD．

【解析】此題考查了相似三角形的判定與性質，以及切線的性質，熟練掌握相似三角形的判定與性質是解本題的關鍵．（1）連接OC，由PC為圓O的切線，利用切線的性質得到OC垂直于PC，再由BD垂直于PD，得到一對直角相等，利用同位角相等兩直線平行得到OC與BD平行，進而得到一對內錯角相等，再由OB=OC，利用等邊對等角得到一對角相等，等量代換即可得證；（2）連接AC，由AB為圓O的直徑，利用圓周角定理得到∠ACB為直角，利用兩對角相等的三角形相似得到三角形ABC與三角形CBD相似，利用相似三角形對應邊成比例，變形即可得證．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解切線的性質定理的相關知識，掌握切線的性質：1、經過切點垂直于這條半徑的直線是圓的切線2、經過切點垂直于切線的直線必經過圓心3、圓的切線垂直于經過切點的半徑，以及對相似三角形的判定與性質的理解，了解相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方．