Question

【題目】如圖，拋物線y=﹣ 與x軸交于點A，點B，與y軸交于點C，點D與點C關于x軸對稱，點P是x軸上的一個動點，設點P的坐標為（m，0），過點P作x軸的垂線l交拋物線于點Q．

（1）求點A、點B、點C的坐標；
（2）求直線BD的解析式；
（3）當點P在線段OB上運動時，直線l交BD于點M，試探究m為何值時，四邊形CQMD是平行四邊形；
（4）在點P的運動過程中，是否存在點Q，使△BDQ是以BD為直角邊的直角三角形？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵令x=0得；y=2，

∴C（0，2）．

∵令y=0得：﹣ =0，

解得：x1=﹣1，x2=4．

∴A（﹣1，0），B（4，0）．

（2）

解：∵點C與點D關于x軸對稱，

∴D（0，﹣2）．

設直線BD的解析式為y=kx﹣2．

∵將（4，0）代入得：4k﹣2=0，

∴k= ．

∴直線BD的解析式為y= x﹣2．

（3）

解：如圖1所示：

∵QM∥DC，

∴當QM=CD時，四邊形CQMD是平行四邊形．

設點Q的坐標為（m，﹣ m2+ m+2），

則M（m， m﹣2），

∴﹣ m2+ m+2﹣（ m﹣2）=4，

解得：m=2，m=0（不合題意，舍去），

∴當m=2時，四邊形CQMD是平行四邊形；

（4）

解：存在，設點Q的坐標為（m，﹣ m2+ m+2），

∵△BDQ是以BD為直角邊的直角三角形，

∴①當∠QBD=90°時，

由勾股定理得：BQ2+BD2=DQ2，

即（m﹣4）2+（﹣ m2+ m+2）2+20=m2+（﹣ m2+ m+2+2）2，

解得：m=3，m=4（不合題意，舍去），

∴Q（3，2）；

②當∠QDB=90°時，

由勾股定理得：BQ2=BD2+DQ2，

即（m﹣4）2+（﹣ m2+ m+2）2=20+m2+（﹣ m2+ m+2+2）2，

解得：m=8，m=﹣1，

∴Q（8，﹣18），（﹣1，0），

綜上所述：點Q的坐標為（3，2），（8，﹣18），（﹣1，0）．

【解析】本題考查了二次函數綜合題，涉及的知識點有：坐標軸上點的特點，待定系數法求直線的解析式，平行四邊形的判定和性質，勾股定理，方程思想和分類思想的運用，綜合性較強，有一定的難度．（1）根據函數解析式列方程即可得到結論；（2）由點C與點D關于x軸對稱，得到D（0，﹣2），解方程即可得到結論；（3）如圖1所示：根據平行四邊形的性質得到QM=CD，設點Q的坐標為（m，﹣ m2+ m+2），則M（m， m﹣2），列方程即可得到結論；（4）設點Q的坐標為（m，﹣ m2+ m+2），分兩種情況：①當∠QBD=90°時，根據勾股定理列方程求得m=3，m=4（不合題意，舍去），②當∠QDB=90°時，根據勾股定理列方程求得m=8，m=﹣1，于是得到結論．
【考點精析】關于本題考查的確定一次函數的表達式和勾股定理的概念，需要了解確定一個一次函數，需要確定一次函數定義式y=kx+b（k不等于0）中的常數k和b．解這類問題的一般方法是待定系數法；直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2才能得出正確答案．