Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+bx﹣a﹣b（a＜0，a、b為常數）與x軸交于A、C兩點，與y軸交于B點，直線AB的函數關系式為y= x+ ．

（1）求該拋物線的函數關系式與C點坐標；
（2）已知點M（m，0）是線段OA上的一個動點，過點M作x軸的垂線l分別與直線AB和拋物線交于D、E兩點，當m為何值時，△BDE恰好是以DE為底邊的等腰三角形？
（3）在（2）問條件下，當△BDE恰好是以DE為底邊的等腰三角形時，動點M相應位置記為點M′，將OM′繞原點O順時針旋轉得到ON（旋轉角在0°到90°之間）；
i：探究：線段OB上是否存在定點P（P不與O、B重合），無論ON如何旋轉， 始終保持不變，若存在，試求出P點坐標；若不存在，請說明理由；
ii：試求出此旋轉過程中，（NA+ NB）的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：在y= x+ 中，令x=0，則y= ，令y=0，則x=﹣6，

∴B（0， ），A（﹣6，0），

把B（0， ），A（﹣6，0）代入y=ax2+bx﹣a﹣b得 ，

∴ ，

∴拋物線的函數關系式為：y=﹣ x2﹣ x+ ，

令y=0，則=﹣ x2﹣ x+ =0，

∴x1=﹣6，x2=1，

∴C（1，0）

（2）

解：∵點M（m，0），過點M作x軸的垂線l分別與直線AB和拋物線交于D、E兩點，

∴D（m， m+ ），當DE為底時，

作BG⊥DE于G，則EG=GD= ED，GM=OB= ，

∴ m+ （﹣ m2﹣ m+ + m+ ）= ，

解得：m1=﹣4，m2=9（不合題意，舍去），

∴當m=﹣4時，△BDE恰好是以DE為底邊的等腰三角形

（3）

解：i：存在，

∵ON=OM′=4，OB= ，

∵∠NOP=∠BON，

∴當△NOP∽△BON時， = ，

∴ 不變，

即OP= =3，

∴P（0，3）

ii：∵N在以O為圓心，4為半徑的半圓上，由（i）知， = ，

∴NP= NB，

∴（NA+ NB）的最小值=NA+NP，

∴此時N，A，P三點共線，

∴（NA+ NB）的最小值= =3 ．

【解析】（1）根據已知條件得到B（0， ），A（﹣6，0），解方程組得到拋物線的函數關系式為：y=﹣ x2﹣ x+ ，于是得到C（1，0）；（2）由點M（m，0），過點M作x軸的垂線l分別與直線AB和拋物線交于D、E兩點，得到D（m， m+ ），當DE為底時，作BG⊥DE于G，根據等腰三角形的性質得到EG=GD= ED，GM=OB= ，列方程即可得到結論；（3）i：根據已知條件得到ON=OM′=4，OB= ，由∠NOP=∠BON，特殊的當△NOP∽△BON時，根據相似三角形的性質得到 = ，于是得到結論；
ii：根據題意得到N在以O為圓心，4為半徑的半圓上，由（i）知， = ，得到NP= NB，于是得到（NA+ NB）的最小值=NA+NP，此時N，A，P三點共線，根據勾股定理得到結論．