Question

【題目】如圖，拋物線y=mx2﹣16mx+48m（m＞0）與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)B在點(diǎn)A左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且位于第四象限，連接OD、BD、AC、AD，延長(zhǎng)AD交y軸于點(diǎn)E．

（1）若△OAC為等腰直角三角形，求m的值；
（2）若對(duì)任意m＞0，C、E兩點(diǎn)總關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，求點(diǎn)D的坐標(biāo)（用含m的式子表示）；
（3）當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到某一位置時(shí)，恰好使得∠ODB=∠OAD，且點(diǎn)D為線段AE的中點(diǎn)，此時(shí)對(duì)于該拋物線上任意一點(diǎn)P（x0 ， y0）總有n+ ≥﹣4 my02﹣12 y0﹣50成立，求實(shí)數(shù)n的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：令y=mx2﹣16mx+48m=m（x﹣4）（x﹣12）=0，則x1=12，x2=4，

∴A（12，0），即OA=12，

又∵C（0，48m），

∴當(dāng)△OAC為等腰直角三角形時(shí)，OA=OC，

即12=48m，

∴m=

（2）

解：由（1）可知點(diǎn)C（0，48m），

∵對(duì)任意m＞0，C、E兩點(diǎn)總關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

∴必有E（0，﹣48m），

設(shè)直線AE的解析式為y=kx+b，

將E（0，﹣48m），A（12，0）代入，可得

，解得 ，

∴直線AE的解析式為y=4mx﹣48m，

∵點(diǎn)D為直線AE與拋物線的交點(diǎn)，

∴解方程組 ，可得 或 （點(diǎn)A舍去），

即點(diǎn)D的坐標(biāo)為（8，﹣16m）

（3）

解：當(dāng)∠ODB=∠OAD，∠DOB=∠AOD時(shí)，△ODB∽△OAD，

∴OD2=OA×OB=4×12=48，

∴OD=4 ，

又∵點(diǎn)D為線段AE的中點(diǎn)，

∴AE=2OD=8 ，

又∵OA=12，

∴OE= =4 ，

∴D（6，﹣2 ），

把D（6，﹣2 ）代入拋物線y=mx2﹣16mx+48m，可得﹣2 =36m﹣96m+48m，

解得m= ，

∴拋物線的解析式為y= （x﹣4）（x﹣12），

即y= （x﹣8）2﹣ ，

∵點(diǎn)P（x0，y0）為拋物線上任意一點(diǎn)，

∴y0≥﹣ ，

令t=﹣4 my02﹣12 y0﹣50=﹣2y02﹣12 y0﹣50=﹣2（y0+3 ）2+4，

則當(dāng)y0≥﹣ 時(shí)，t最大值=﹣2（﹣ +3 ）2+4= ，

若要使n+ ≥﹣4 my02﹣12 y0﹣50成立，則n+ ≥ ，

∴n≥3 ，

∴實(shí)數(shù)n的最小值為 ．

【解析】（1）根據(jù)y=mx2﹣16mx+48m，可得A（12，0），C（0，48m），再根據(jù)OA=OC，即可得到12=48m，進(jìn)而得出m的值；（2）根據(jù)C、E兩點(diǎn)總關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，得到E（0，﹣48m），根據(jù)E（0，﹣48m），A（12，0）可得直線AE的解析式，最后解方程組即可得到直線AE與拋物線的交點(diǎn)D的坐標(biāo)；（3）根據(jù)△ODB∽△OAD，可得OD=4 ，進(jìn)而得到D（6，﹣2 ），代入拋物線y=mx2﹣16mx+48m，可得拋物線解析式，再根據(jù)點(diǎn)P（x0 ， y0）為拋物線上任意一點(diǎn)，即可得出y0≥﹣ ，令t=﹣2（y0+3 ）2+4，可得t最大值=﹣2（﹣ +3 ）2+4= ，再根據(jù)n+ ≥ ，可得實(shí)數(shù)n的最小值為 ．
【考點(diǎn)精析】通過(guò)靈活運(yùn)用等腰直角三角形和確定一次函數(shù)的表達(dá)式，掌握等腰直角三角形是兩條直角邊相等的直角三角形；等腰直角三角形的兩個(gè)底角相等且等于45°；確定一個(gè)一次函數(shù)，需要確定一次函數(shù)定義式y(tǒng)=kx+b（k不等于0）中的常數(shù)k和b．解這類問題的一般方法是待定系數(shù)法即可以解答此題．