Question

【題目】如圖，正方形中，點、、分別是、、的中點，、交于，連接、.下列結論：①；②；③；④.正確的有（ ）

A. 1個B. 2個C. 3個D. 4個

Answer 1

【答案】C

【解析】

連接AH，由四邊形ABCD是正方形與點E、F、H分別是AB、BC、CD的中點，易證得△BCE≌△CDF與△ADH≌△DCF，根據全等三角形的性質，易證得CE⊥DF與AH⊥DF，根據垂直平分線的性質，即可證得AG=AD，AG≠DG，由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，即可證得HG=AD，根據等腰三角形的性質，即可得∠CHG=∠DAG．則問題得解．

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠BCD=90°，

∵點E、F、H分別是AB、BC、CD的中點，

∴BE=CF，

在△BCE與△CDF中，

，

∴△BCE≌△CDF，（SAS），

∴∠ECB=∠CDF，

∵∠BCE+∠ECD=90°，

∴∠ECD+∠CDF=90°，

∴∠CGD=90°，

∴CE⊥DF；故①正確；

在Rt△CGD中，H是CD邊的中點，

∴HG=CD=AD，

即2HG=AD；故④正確；

連接AH，如圖所示：

同理可得：AH⊥DF，

∵HG=HD=CD，

∴DK=GK，

∴AH垂直平分DG，

∴AG=AD；

若AG=DG，則△ADG是等邊三角形，

則∠ADG=60°，∠CDF=30°，

而CF=CD≠DF，

∴∠CDF≠30°，

∴∠ADG≠60°，

∴AG≠DG，故②錯誤；

∴∠DAG=2∠DAH，

同理：△ADH≌△DCF，

∴∠DAH=∠CDF，

∵GH=DH，

∴∠HDG=∠HGD，

∴∠GHC=∠HDG+∠HGD=2∠CDF，

∴∠CHG=∠DAG；故③正確；

正確的結論有3個，

故選C．