Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，點O在對角線AC上，以OA的長為半徑的圓O與AD、AC分別交于點E、F，且∠ACB=∠DCE．

（1）判斷直線CE與⊙O的位置關系，并證明你的結論；
（2）若tan∠ACB= ，BC=2，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】
（1）解：直線CE與⊙O相切．

理由如下：

∵四邊形ABCD是矩形，

∴BC∥AD，∠ACB=∠DAC；

又∵∠ACB=∠DCE，

∴∠DAC=∠DCE；

連接OE，則∠DAC=∠AEO=∠DCE；

∵∠DCE+∠DEC=90°

∴∠AE0+∠DEC=90°

∴∠OEC=90°，即OE⊥CE．

又OE是⊙O的半徑，

∴直線CE與⊙O相切．

（2）解：∵tan∠ACB= = ，BC=2，

∴AB=BCtan∠ACB= ，

∴AC= ；

又∵∠ACB=∠DCE，

∴tan∠DCE=tan∠ACB= ，

∴DE=DCtan∠DCE=1；

方法一：在Rt△CDE中，CE= = ，

連接OE，設⊙O的半徑為r，則在Rt△COE中，CO2=OE2+CE2，即 =r2+3

解得：r=

方法二：AE=AD﹣DE=1，過點O作OM⊥AE于點M，則AM= AE=

在Rt△AMO中，OA= = ÷ =

【解析】本題考查了圓的綜合題：圓的切線垂直于過切點的半徑；利用勾股定理計算線段的長．（1）連接OE．欲證直線CE與⊙O相切，只需證明∠CEO=90°，即OE⊥CE即可；（2）在直角三角形ABC中，根據三角函數的定義可以求得AB= ，然后根據勾股定理求得AC= ，同理知DE=1；方法一、在Rt△COE中，利用勾股定理可以求得CO2=OE2+CE2 ， 即 =r2+3，從而易得r的值；方法二、過點O作OM⊥AE于點M，在Rt△AMO中，根據三角函數的定義可以求得r的值．