Question

【題目】已知在平面直角坐標系中，拋物線與軸交于兩點（點在點左側），與軸交于點，頂點為．

（1）如圖，直線下方拋物線上的一個動點（不與點重合），過點作于點，當最大時，點為線段一點（不與點重合），當的值最小時，求點的坐標；

（2）將沿直線翻折得，再將繞著點順時針旋轉得，在旋轉過程中直線與直線相交于點，與軸相交于點，當是等腰三角形時，求的長．

Answer 1

【答案】（1）；（2）的長為或3或．

【解析】

（1）首先求出點A、B、C的坐標，利用待定系數法求出直線BC的解析式，再設過點且平行于的直線解析式為．求出與的交點坐標，

再將沿軸翻折交軸于點，作于點，于點．求出，推出當共線時，的值最小，即為的值，

由直線和直線即可求出點E的坐標；

（2）分三種情況討論分析，即當時，作于點；當時，點與重合；當時，．

解：（1）令，即，

解得，，

，．

令，得，

．

設直線的解析式為，

解得

直線．

設過點且平行于的直線解析式為．

當與只有一個交點時，的值最大，由，

得，此方程有兩個相等的實數根，

，

此時，

．

如圖1，將沿軸翻折交軸于點S，作于點，于點．

，

，

，

，

，

，

當共線時，的值最小，即為的值

，，

直線．

，

設直線．

，

，

，

直線．

由和，

解得

．

（2）①如圖2，當時，作于點．

，，

，，，

．

設，則．

，

，解得，

．

②如圖3，當時，點與重合，此時，．

③如圖4，當時，，

．，

解可得．

綜上所述當是等腰三角形時，的長為或3或．