Question

【題目】一次函數y=x的圖象如圖所示，它與二次函數y=ax2﹣4ax+c的圖象交于A、B兩點（其中點A在點B的左側），與這個二次函數圖象的對稱軸交于點C．

（1）求點C的坐標
（2）設二次函數圖象的頂點為D．
①若點D與點C關于x軸對稱，且△ACD的面積等于3，求此二次函數的關系式；
②若CD=AC，且△ACD的面積等于10，求此二次函數的關系式．

Answer 1

【答案】
（1）

解：（1）∵y=ax2﹣4ax+c=a（x﹣2）2﹣4a+c，

∴二次函數圖象的對稱軸為直線x=2，

當x=2時，y=x=，

故點C（2，）

（2）

解：

①∵點D與點C關于x軸對稱，

∴D（2，﹣，），

∴CD=3，

設A（m，m）（m＜2），

由S△ACD=3得：×3×（2﹣m）=3，

解得m=0，

∴A（0，0）．

由A（0，0）、D（2，﹣）得：

，

解得：a=，c=0．

∴y=x2﹣x；

②設A（m，m）（m＜2），

過點A作AE⊥CD于E，則AE=2﹣m，CE=﹣m，

AC===（2﹣m），

∵CD=AC，

∴CD=（2﹣m），

由S△ACD=10得×（2﹣m）2=10，

解得：m=﹣2或m=6（舍去），

∴m=﹣2，

∴A（﹣2，﹣），CD=5，

當a＞0時，則點D在點C下方，

∴D（2，﹣），

由A（﹣2，﹣）、D（2，﹣）得：

，

解得：，

∴y=x2﹣x﹣3；

當a＜0時，則點D在點C上方，

∴D（2，），

由A（﹣2，﹣）、D（2，）得：，

解得，

∴y=﹣x2+2x+．

【解析】（1）先求出對稱軸為x=2，然后求出與一次函數y=x的交點，即點C的坐標；
（2）①先求出點D的坐標，設A坐標為（m，m），然后根據面積為3，求出m的值，得出點A的坐標，最后根據待定系數法求出a、c的值，即可求出解析式；
②過點A作AE⊥CD于E，設A坐標為（m，m），由S△ACD=10，求出m的值，然后求出點A坐標以及CD的長度，然后分兩種情況：當a＞0，當a＜0時，分別求出點D的坐標，代入求出二次函數的解析式．