Question

【題目】如圖1,在平面直角坐標系中,A（a,0）是x軸正半軸上一點,C是第四象限一點,CB⊥y軸,交y軸負半軸于B（0,b）,且(a-3)2+|b+4|=0,S四邊形AOBC=16．

（1）求C點坐標；

（2）如圖2,設D為線段OB上一動點,當AD⊥AC時,∠ODA的角平分線與∠CAE的角平分線的反向延長線交于點P,求∠APD的度數．

（3）如圖3,當D點在線段OB上運動時,作DM⊥AD交BC于M點,∠BMD、∠DAO的平分線交于N點,則D點在運動過程中,∠N的大小是否變化？若不變,求出其值,若變化,說明理由．

Answer 1

【答案】(1) C（5，﹣4）;(2)90°;(3)見解析.

【解析】（1）利用非負數的和為零，各項分別為零，求出a，b即可；

（2）用同角的余角相等和角平分線的意義即可；

（3）利用角平分線的意義和互余兩角的關系簡單計算證明即可．

（1）∵（a﹣3）2+|b+4|=0，

∴a﹣3=0，b+4=0，

∴a=3，b=﹣4，

∴A（3，0），B（0，﹣4），

∴OA=3，OB=4，

∵S四邊形AOBC=16．

∴0.5（OA+BC）×OB=16，

∴0.5（3+BC）×4=16，

∴BC=5，

∵C是第四象限一點，CB⊥y軸，

∴C（5，﹣4）；

（2）如圖，

延長CA，∵AF是∠CAE的角平分線，

∴∠CAF=0.5∠CAE，

∵∠CAE=∠OAG，

∴∠CAF=0.5∠OAG，

∵AD⊥AC，

∴∠DAO+∠OAG=∠PAD+∠PAG=90°，

∵∠AOD=90°，

∴∠DAO+∠ADO=90°，

∴∠ADO=∠OAG，

∴∠CAF=0.5∠ADO，

∵DP是∠ODA的角平分線，

∴∠ADO=2∠ADP，

∴∠CAF=∠ADP，

∵∠CAF=∠PAG，

∴∠PAG=∠ADP，

∴∠APD=180°﹣（∠ADP+∠PAD）=180°﹣（∠PAG+∠PAD）=180°﹣90°=90°

即：∠APD=90°

（3）不變，∠ANM=45°理由：如圖，

∵∠AOD=90°，

∴∠ADO+∠DAO=90°，

∵DM⊥AD，

∴∠ADO+∠BDM=90°，

∴∠DAO=∠BDM，

∵NA是∠OAD的平分線，

∴∠DAN=0.5∠DAO=0.5∠BDM，

∵CB⊥y軸，

∴∠BDM+∠BMD=90°，

∴∠DAN=0.5（90°﹣∠BMD），

∵MN是∠BMD的角平分線，

∴∠DMN=0.5∠BMD，

∴∠DAN+∠DMN=0.5（90°﹣∠BMD）+0.5∠BMD=45°

在△DAM中，∠ADM=90°，

∴∠DAM+∠DMA=90°，

在△AMN中，

∠ANM=180°﹣（∠NAM+∠NMA）=180°﹣（∠DAN+∠DAM+∠DMN+∠DMA）=180°﹣[（∠DAN+DMN）+（∠DAM+∠DMA）] =180°﹣（45°+90°）=45°，

∴D點在運動過程中，∠N的大小不變，求出其值為45°