Question

【題目】已知直線y=﹣ x+3與坐標軸分別交于點A，B，點P在拋物線y=﹣ （x﹣ ）2+4上，能使△ABP為等腰三角形的點P的個數有（　　）
A.3個
B.4個
C.5個
D.6個

Answer 1

【答案】A
【解析】解：以點B為圓心線段AB長為半徑做圓，交拋物線于點C、M、N點，連接AC、BC，如圖所示．

令一次函數y=﹣ x+3中x=0，則y=3，
∴點A的坐標為（0，3）；
令一次函數y=﹣ x+3中y=0，則﹣ x+3，
解得：x ，
∴點B的坐標為（ ，0）．
∴AB=2 ．
∵拋物線的對稱軸為x= ，
∴點C的坐標為（2 ，3），
∴AC=2 =AB=BC，
∴△ABC為等邊三角形．
令y=﹣ （x﹣ ）2+4中y=0，則﹣ （x﹣ ）2+4=0，
解得：x=﹣ ，或x=3 ．
∴點E的坐標為（﹣ ，0），點F的坐標為（3 ，0）．
△ABP為等腰三角形分三種情況：
①當AB=BP時，以B點為圓心，AB長度為半徑做圓，與拋物線交于C、M、N三點；
②當AB=AP時，以A點為圓心，AB長度為半徑做圓，與拋物線交于C、M兩點，；
③當AP=BP時，作線段AB的垂直平分線，交拋物線交于C、M兩點；
∴能使△ABP為等腰三角形的點P的個數有3個．
故選A．
【考點精析】本題主要考查了等腰三角形的判定的相關知識點，需要掌握如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等（簡稱：等角對等邊）．這個判定定理常用于證明同一個三角形中的邊相等才能正確解答此題．