Question

【題目】在平面直角坐標系中，拋物線過原點O，且與軸交于另一點，其頂點為．孔明同學用一把寬為帶刻度的矩形直尺對拋物線進行如下測量：

① 量得；② 把直尺的左邊與拋物線的對稱軸重合，使得直尺左下端點與拋物線的頂點重合（如圖1），測得拋物線與直尺右邊的交點的刻度讀數為．

請完成下列問題：

（1）寫出拋物線的對稱軸；(2）求拋物線的解析式；（3）將圖中的直尺（足夠長）沿水平方向向右平移到點的右邊（如圖2），直尺的兩邊交軸于點、，交拋物線于點、．求證： ．

圖1 圖2

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）

【解析】試題分析：（1）由于O、A關于拋物線對稱軸對稱，且OA=3cm，由此可求得拋物線的對稱軸為x=．

（2）根據O、A的坐標，可將拋物線解析式設為交點式，在（1）題求得了拋物線的對稱軸，即可得到B、C的橫坐標，分別代入拋物線的解析式中，表示出它們的縱坐標，根據C、B的縱坐標差為4.5即可列方程求出待定系數的值，從而確定拋物線的解析式．

（3）可設出E點的橫坐標，進而根據直尺的寬度得到F點的橫坐標，根據（2）題所得拋物線，即可表示出兩點的縱坐標，利用梯形的面積公式，可求出梯形EFGH的面積表達式，然后同（EF2-9）進行比較即可．

試題解析：（1）

（2）設拋物線的解析式為： ，當時， ，即；當時， ，即，依題意得： ，解得： ．

∴拋物線的解析式為： ．

（3）過點作，垂足為，設， ，得： ①

②

又，得，分別代入①、②得： ，

∴得：

又 ∴