Question

【題目】如圖，在等腰直角三角形ABC中，，D為BC的中點，DEAB，垂足為E，過點B作BF//AC交DE的延長線于點F.

（1）求證：；

（2）連接AF，求證：AF=CF.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析．

【解析】

（1）由D為BC的中點得出CD=DB，再由等腰直角三角形結合垂直、平行的性質得出BF=DB，∠CBF=∠ACD，由BC=AC，即可證出（SAS）；
（2）由（1）得△BDF是等腰直角三角形，由等腰三角形三線合一可得BE垂直平分DF，根據線段垂直平分線的性質可得結論．

證明：（1）∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AC=CB，∠CBA=∠CAB=45°，
∵DE⊥AB，
∴∠DEB=90°，∠BDE=45°，
又∵BF∥AC

∴∠CBF=90°，

∴∠BFD=∠BDE=45°，∠CBF=∠ACD=90°，
∴BF=DB，
∵D為BC的中點，
∴CD=DB，
∴BF=CD，
在Rt△CBF和Rt△ACD中，

∴（SAS）；

（2）由（1）知：BF=DB，∠CBF=90°，
∵△DBF是等腰直角三角形，
∵DEAB，

∴BE垂直平分DF，
∴AF=AD，
∵，
∴CF=AD，
∴AF=CF．