Question

【題目】如圖，已知拋物線C1：的頂點為P，點Q是x軸正半軸上一點，將拋物線C1繞點Q旋轉180后得到拋物線C2.拋物線C2的頂點為N，與x軸相交于E、F兩點（點E在點F的左邊），當以點P、N、F為頂點的三角形是直角三角形時，則點Q的坐標是______________.

Answer 1

【答案】或

【解析】(3)∵拋物線C2由C1繞點x軸上的點Q旋轉180°得到，

∴頂點N、P關于點Q成中心對稱，

設點N坐標為(m,5)，

作PH⊥x軸于H，作NG⊥x軸于G，

作PK⊥NG于K，

∵旋轉中心Q在x軸上，

∴EF=AB=2BH=6，

∴FG=3,點F坐標為(m+3,0).

H坐標為(2,0),K坐標為(m,5)，

∵頂點P的坐標為(2,5)，

根據勾股定理得：

PN2=NK2+PK2=m2+4m+104，

PF2=PH2+HF2=m2+10m+50，

NF2=52+32=34，

①當∠PNF=90°時,PN2+NF2=PF2,解得m=，

∴Q點坐標為(,0).

②當∠PFN=90°時,PF2+NF2=PN2,解得m=，

∴Q點坐標為(,0).

③∵PN>NK=10>NF，

∴∠NPF≠90°

綜上所得,當Q點坐標為(,0)或(,0)時，以點P、N、F為頂點的三角形是直角三角形。