Question

【題目】已知拋物線y=ax2+bx+2過點A（5，0）和點B（﹣3，﹣4），與y軸交于點C．

（1）求拋物線y=ax2+bx+2的函數表達式；

（2）求直線BC的函數表達式；

（3）點E是點B關于y軸的對稱點，連接AE、BE，點P是折線EB﹣BC上的一個動點，

①當點P在線段BC上時，連接EP，若EP⊥BC，請直接寫出線段BP與線段AE的關系；

②過點P作x軸的垂線與過點C作的y軸的垂線交于點M，當點M不與點C重合時，點M關于直線PC的對稱點為點M′，如果點M′恰好在坐標軸上，請直接寫出此時點P的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+x+2；（2）y=2x+2；（3）①線段BP與線段AE的關系是相互垂直；②點P的坐標為：（﹣4+2，﹣8+4）或（﹣4﹣2，﹣8﹣4）或（0，﹣4）或（﹣，﹣4）．

【解析】

（1）將A（5，0）和點B（﹣3，﹣4）代入y=ax2+bx+2，即可求解；

（2）C點坐標為（0，2），把點B、C的坐標代入直線方程y=kx+b即可求解；

（3）①AE直線的斜率kAE=2，而直線BC斜率的kAE=2即可求解；

②考慮當P點在線段BC上時和在線段BE上時兩種情況，利用PM′=PM即可求解．

（1）將A（5，0）和點B（﹣3，﹣4）代入y=ax2+bx+2，

解得：a=﹣，b=，

故函數的表達式為y=﹣x2+x+2；

（2）C點坐標為（0，2），把點B、C的坐標代入直線方程y=kx+b，

解得：k=2，b=2，

故：直線BC的函數表達式為y=2x+2，

（3）①E是點B關于y軸的對稱點，E坐標為（3，﹣4），

則AE直線的斜率kAE=2，而直線BC斜率的kAE=2，

∴AE∥BC，而EP⊥BC，∴BP⊥AE

而BP=AE，∴線段BP與線段AE的關系是相互垂直；

②設點P的橫坐標為m，

當P點在線段BC上時，

P坐標為（m，2m+2），M坐標為（m，2），則PM=2m，

直線MM′⊥BC，∴kMM′=﹣，

直線MM′的方程為：y=﹣x+（2+m），

則M′坐標為（0，2+m）或（4+m，0），

由題意得：PM′=PM=2m，

PM′2=42+m2=（2m）2，此式不成立，

或PM′2=m2+（2m+2）2=（2m）2，

解得：m=﹣4±2，

故點P的坐標為（﹣4±2，﹣8±4）；

當P點在線段BE上時，

點P坐標為（m，﹣4），點M坐標為（m，2），

則PM=6，

直線MM′的方程不變，為y=﹣x+（2+m），

則M′坐標為（0，2+m）或（4+m，0），

PM′2=m2+（6+m）2=（2m）2，

解得：m=0，或﹣；

或PM′2=42+42=（6）2，無解；

故點P的坐標為（0，﹣4）或（﹣，﹣4）；

綜上所述：

點P的坐標為：（﹣4+2，﹣8+4）或（﹣4﹣2，﹣8﹣4）或（0，﹣4）或（﹣，﹣4）．