Question

【題目】如圖，P、Q分別是正方形ABCD的邊AB、BC上的點，且BP＝BQ，過點B作PC的垂線，垂足為點H，連接HD、HQ. （14分）

(1)圖中有________對相似三角形；

(2)若正方形ABCD的邊長為1，P為AB的三等分點，求△BHQ的面積；

(3)求證：DH⊥HQ.

Answer 1

【答案】（1）4；（2）（）證明見解析.

【解析】試題分析：(1)、根據角度之間的關系得出相似三角形；(2)、過點H作HE⊥BC于點E，根據P為三等分點得出BP=BQ=，根據Rt△PBC的勾股定理以及相似三角形求出BH的長度，根據Rt△BHC的勾股定理以及三角形相似求出HE的長度，從而得出△BHQ的面積；(3)、根據Rt△PBC∽Rt△BHC得出∠HBQ＝∠HCD，從而的得出△HBQ∽△HCD，即∠BHQ＝∠DHC，最后根據∠BHQ＋∠QHC＝90°，∠QHC＋∠DHC＝∠QHD＝90°得出垂直．

試題解析：(1)、解：4；

(2)、解：過點H作HE⊥BC于點E， ∵正方形ABCD的邊長為1，P為AB的三等分點，

∴BP＝BQ＝.

在Rt△PBC中，由勾股定理得PC＝， ∵BP·BC＝BH·PC，∴BH＝＝，

在Rt△BHC中，由勾股定理得CH＝， ∵BH·CH＝HE·BC，∴HE＝＝，

∴△BHQ的面積為EH·BQ＝××＝；

(3)、證明：∵∠PBC＝∠CHB＝90°，∠BCH＝∠PCB，

∴Rt△PBC∽Rt△BHC，∴＝， 又∵BP＝BQ，BC＝DC，∴＝，∴＝，

∵∠BHC＝∠BCD＝90°，∠BCH＝∠BCH，∴∠HBQ＝∠HCD，

在△HBQ與△HCD中，∵＝，∠HBQ＝∠HCD， ∴△HBQ∽△HCD，∴∠BHQ＝∠DHC， ∴∠BHQ＋∠QHC＝∠DHC＋∠QHC，

又∵∠BHQ＋∠QHC＝90°， ∴∠QHC＋∠DHC＝∠QHD＝90°，即DH⊥HQ．