Question

【題目】已知在平面直角坐標系xOy中，O為坐標原點，線段AB的兩個端點A(0，2)，B(1，0)分別在y軸和x軸的正半軸上，點C為線段AB的中點．現將線段BA繞點B按順時針方向旋轉90°得到線段BD，拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)經過點D.如圖，若該拋物線經過原點O，且a＝－.

(1)求點D的坐標及該拋物線的解析式；

(2)連結CD.問：在拋物線上是否存在點P，使得∠POB與∠BCD互余？若存在，請求出所有滿足條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）D點的坐標是(3，1)．y＝－x2＋x；（2）在拋物線上存在點P1(，)，P2(，－)，使得∠POB與∠BCD互余．

【解析】試題分析：（1）過點D作DF⊥x軸于點F，先通過三角形全等求得D的坐標，把D的坐標和a=-，c=0代入y=ax2+bx+c即可求得拋物線的解析式；
（2）先證得CD∥x軸，進而求得要使得∠POB與∠BCD互余，則必須∠POB=∠BAO，設P的坐標為（x，-x2+x），分兩種情況討論即可求得；

試題解析：

(1)過點D作DF⊥x軸于點F.

∵∠DBF＋∠ABO＝90°，∠BAO＋∠ABO＝90°，∴

∠DBF＝∠BAO.

又∵∠AOB＝∠BFD＝90°，AB＝BD，

∴△AOB≌△BFD，

∴DF＝BO＝1，BF＝AO＝2，

∴D點的坐標是(3，1)．

根據題意，拋物線y＝－x2＋bx＋c經過原點和點D，

∴c＝0，(－)×32＋b×3＋c＝1，

∴b＝，

∴該拋物線解析式為y＝－x2＋x；

(2)存在．

∵C、D兩點縱坐標都為1，

∴CD∥x軸，

∴∠BCD＝∠ABO，

∴∠BAO與∠BCD互余．若要使得∠POB與∠BCD互余，則需滿足∠POB＝∠BAO.

設點P的坐標為(x，－ x2＋x)．

當點P在x軸上方時，則tan∠POB＝tan∠BAO，

∴，解得x1＝0(舍去)，x2＝.

當x＝時，－ x2＋x＝，

∴點P的坐標是(，)；

當點P在x軸下方時，則，解得x1＝0(舍去)，x2＝

.當x＝時，

∴－x2＋x＝－，

∴點P的坐標是(，－)．

綜上所述，在拋物線上存在點P1(，)，P2(，－)，使得∠POB與∠BCD互余．