Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠ABC的平分線BF與△ABC的外角平分線CF相交于點F，過F作DF∥BC，交AB于D，交AC于E。

（1）寫出圖中所有的等腰三角形，并選擇其中一個說明理由。
（2）直接寫出BD，CE，DE之間的數量關系。
（3）若DE=5cm，CE=8cm，BF=24cm，求△BDF的面積。

Answer 1

【答案】
（1）解：△DBF、△ECF

以說明△DBF為例：

∵BF平分∠ABC

∴∠DBF=∠CBF

∵DF∥BC

∴∠CBF=∠DFB

∴∠DBF=∠DFB,即△DBF為等腰三角形。

（2）解：BD=DE+CE
理由如下：
因為△DBF、△ECF為等腰三角形
BD=FD，CE=EF
DF=DE+EF=DE+CE
所以BD=DE+CE
（3）解：
如圖，做DG⊥BF與G
∵BD=FD
∴FG=BF=12cm
又DF=DE+CE=5+8=13cm
由勾股定理得DG=5cm
S△BDF=BF×DG=×24×5=60cm
答：△BDF的面積為60cm。
【解析】（1）由角平分線加平行線易得等腰三角形，所以由圖易得△DBF、△ECF為等腰三角形。
（2）由等腰三角形的性質，利用等量代換易得BD=DE+CE
（3）作BF邊上的高，由勾股定理得到高為5。計算得到△BDF的面積為60。