Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，BC=3．點D是BC邊上的一動點（不與點B、C重合），過點D作DE⊥BC交AB于點E，將∠B沿直線DE翻折，點B落在射線BC上的點F處．當△AEF為直角三角形時，BD的長為_____．

Answer 1

【答案】1或2

【解析】試題分析：根據題意得：∠EFB＝∠B＝30°，DF＝BD，EF＝EB，

∵DE⊥BC，

∴∠FED＝90°－∠EFD＝60°，∠BEF＝2∠FED＝120°，

∴∠AEF＝180°－∠BEF＝60°，

∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，BC＝3，

∴AC＝AB，∠BAC＝60°，

設AC＝x，則AB＝2x，

由勾股定理得：AC2＋BC2＝AB2，

∴x2＋32＝(2x)2

解得x＝．

如圖①若∠AFE＝90°，

∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，

∴∠EFD＋∠AFC＝∠FAC＋∠AFC＝90°，

∴∠FAC＝∠EFD＝30°，

∴CF＝AF，

設CF＝y，則AF＝2y，

由勾股定理得CF2＋AC2＝AF2，

∴y2＋()2＝(2y)2

解得y＝1，

∴BD＝DF＝ (BCCF)＝1；

如圖②若∠EAF＝90°，

則∠FAC＝90°－∠BAC＝30°，

同上可得CF＝1，

∴BD＝DF＝ (BC＋CF)＝2，

∴△AEF為直角三角形時，BD的長為：1或2．

故答案為：1或2．