Question

【題目】如圖，已知拋物線經過點A（﹣2，0），點B（﹣3，3）及原點O，頂點為C．

（1）求拋物線的解析式；

（2）在拋物線的BC段上，是否存在一點G，使得△GBC的面積最大？若存在，求出這個最大值及此時點G的坐標；若不存在，請說明理由；

（3）P是拋物線的第一象限內的動點，過點P作PM⊥x軸，垂足為M，是否存在點P，使得以P、M、A為頂點的三角形與△BOC相似？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由；

（4）若點D在拋物線上，點E在拋物線的對稱軸上，且以A、O、D、E為頂點的四邊形是平行四邊形，請直接寫出點D的坐標．

Answer 1

【答案】（1）∴拋物線的解析式為y=x2﹣2x；

（2）當x=﹣2時，S△GBC=1最大，此時，G（﹣2，0）；

（3）符合條件的點P有兩個，分別是P1（， ），P2（3，15）

（4）D1（1，3），D2（﹣3，3）；D3（﹣1，﹣1）．

【解析】試題分析：（1）由于拋物線經過A（﹣2，0），B（﹣3，3）及原點O，待定系數法即可求出拋物線的解析式；（2）存在一點G，使得△GBC的面積最大，過G作GH垂直y軸交BC于點H，設G（x1，x2+2x），求出直線BC的解析式，表示出點H的坐標，用x表示出GH的長，構建 出以GH和△GBC的面積為變量的二次函數模型，根據二次函數的性質求解即可；（3）分兩種情況討論，①△AMP∽△BOC，②PMA∽△BOC，根據相似三角形對應邊的比相等可以求出點P的坐標。（4）分OA為平行四邊形的一邊和對角線兩種情況，根據一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形、對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，可以求出點D的坐標.

試題解析：

（1）∴拋物線的解析式為y=（x﹣2）x=x2﹣2x；

（2）存在一點G，使得△GBC的面積最大，理由如下：

理由：過G作GH垂直y軸交BC于點H，設G（x1，x2+2x），設過直線BC的解析式為y=kx+b，∵y=（x﹣2）x=x2﹣2x=（x+1）2﹣1，∴頂點C（﹣1，﹣1），

又∵B（﹣3，﹣3），∴，∴，∴y=﹣2x﹣3，∴可設點H（x，﹣2x﹣3）∴S△GBC=（﹣2x﹣3﹣x2﹣2x）（﹣1+3）=﹣x2﹣4x﹣3=﹣（x+2）2+1

∵a=﹣1＜0，對稱軸為x=﹣2，∴當x=﹣2時，S△GBC=1最大，此時，G（﹣2，0）；

（3）存在，∵點B在拋物線上，∴當x=﹣3時，y=9﹣6=3，∴B（﹣3，3），

根據勾股定理得：BO2=9+9=18；CO2=1+1=2；BC2=16+4=20，∴BO2+CO2=18+2=20，∴BO2+CO2=BC2，∴△BOC為直角三角形，假設存在點P，使得以P、M、A為頂點的三角形與△BOC相似，如圖2，設P（m，n），由題意得m＞0，n＞0，且n=m2+2m，

①若△AMP∽△BOC，則，即，整理得：m+2=3（m2+2m）=0，即3m2+5m﹣2=0，解得：m1=，m2=﹣2（舍去），m1=時，n=+=，∴P（，）；

②若△AMP∽△COB，則，即，整理得：m2﹣m﹣6=0，

解得 m1=3，m2=﹣2（舍去），當m=3時，n=9+6=15，∴P（3，15），

綜上所述，符合條件的點P有兩個，分別是P1（，），P2（3，15）；

（4）如圖3所示，分三種情況考慮：

當D1在第一象限時，若四邊形AOD1E1為平行四邊形，

∴AO=E1D1=2，

∵拋物線對稱軸為直線x=﹣1，

∴D1橫坐標為1，

將x=1代入拋物線y=x2+2x=1+2=3，即D1（1，3）；

當D2在第二象限時，同理D2（﹣3，3）；

當D3在第三象限時，若四邊形AE2OD3為平行四邊形，此時D3與C重合，即D3（﹣1，﹣1）．