Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC，交AC于D，DE⊥AB于E,EF∥AC于F。

（1）求證：△EDF∽△ADE；

（2）猜想：線段DC、DF、DA之間存在什么關系？并說明理由。

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；

（2）,理由見解析.

【解析】（1）利用垂直的定義和平行線的性質可證明∠DFE=∠DEA=90°，則利用相似三角形的判定方法可判斷△EDF∽△ADE；

（2）由于△EDF∽△ADE，則利用相似比可得到DE2=DE×DA，再利用角平分線的性質定理得到DE=DC，從而得到線段DC，DF、DA之間的關系.

（1）證明：∵EF//BC

∴∠EFD=∠C=90°

∵DE⊥AB，

∴∠DEA=∠EFD=90°

又∵∠EDF=∠ADE

∴∽

（2）

∵∠C=∠DEB=90°，BD平分∠ABC

∴DE=DC

由（1）得∽

∴

∴

∴

“點睛”本題考查了相似三角形的判定與性質：在判定兩個三角形相似時，應注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發揮基本圖形的作用，尋找相似三角形的一般方法是通過作平行線構造相似三角形，解決本題的關鍵是利用相似三角形比得到DE、DF、DA的關系.