Question

【題目】如圖，△ABC是等邊三角形，AO⊥BC，垂足為點O，⊙O與AC相切于點D，BE⊥AB交AC的延長線于點E，與⊙O相交于G、F兩點．
（1）求證：AB與⊙O相切；
（2）若等邊三角形ABC的邊長是4，求線段BF的長？

Answer 1

【答案】
（1）證明：過點O作OM⊥AB，垂足是M．

∵⊙O與AC相切于點D．

∴OD⊥AC，

∴∠ADO=∠AMO=90°．

∵△ABC是等邊三角形，

∴∠DAO=∠MAO，

∴OM=OD．

∴AB與⊙O相切

（2）解：過點O作ON⊥BE，垂足是N，連接OF．

∵AB=AC，AO⊥BC，

∴O是BC的中點，

∴OB=2．

在直角△OBM中，∠MBO=60°，

∴OM=OBsin60°= ，BM=OBcos60°=1．

∵BE⊥AB，

∴四邊形OMBN是矩形．

∴ON=BM=1，BN=OM= ．

∵OF=OM= ，

由勾股定理得NF= ．

∴BF=BN+NF= + ．

【解析】（1）過點O作OM⊥AB，垂足是M，證明OM等于圓的半徑OD即可；（2）過點O作ON⊥BE，垂足是N，連接OF，則四邊形OMBN是矩形，在直角△OBM利用三角函數求得OM和BM的長，則BN和ON即可求得，在直角△ONF中利用勾股定理求得NF，則BF即可求解．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用勾股定理的概念和解直角三角形的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2；解直角三角形的依據：①邊的關系a2+b2=c2；②角的關系：A+B=90°；③邊角關系：三角函數的定義．(注意：盡量避免使用中間數據和除法)．