Question

【題目】如圖1，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=2AB=8，點D、E分別是邊BC、AC的中點，連接DE，將△EDC繞點C按順時針方向旋轉，記旋轉角為α．

（1）問題發現
①當α=0°時， =；②當α=180°時， = ．
（2）拓展探究
試判斷：當0°≤α＜360°時， 的大小有無變化？請僅就圖2的情形給出證明．
（3）問題解決
當△EDC旋轉至A，D，E三點共線時，直接寫出線段BD的長．

Answer 1

【答案】
（1）；
（2）

解：如圖2，

，

當0°≤α＜360°時， 的大小沒有變化，

∵∠ECD=∠ACB，

∴∠ECA=∠DCB，

又∵ ，

∴△ECA∽△DCB，

∴

（3）

解：①如圖3，

，

∵AC=4 ，CD=4，CD⊥AD，

∴AD= = ，

∵AD=BC，AB=DC，∠B=90°，

∴四邊形ABCD是矩形，

∴ ．

②如圖4，連接BD，過點D作AC的垂線交AC于點Q，過點B作AC的垂線交AC于點P，

，

∵AC=4 ，CD=4，CD⊥AD，

∴AD= = ，

∵點D、E分別是邊BC、AC的中點，

∴DE= =2，

∴AE=AD﹣DE=8﹣2=6，

由（2），可得

，

∴BD= = ．

綜上所述，BD的長為4 或

【解析】解：（1）①當α=0°時，
∵Rt△ABC中，∠B=90°，
∴AC= ，
∵點D、E分別是邊BC、AC的中點，
∴ ，
∴ ．
②如圖1，
，
當α=180°時，
可得AB∥DE，
∵ ，
∴ = ．
故答案為： ．
（1）①當α=0°時，在Rt△ABC中，由勾股定理，求出AC的值是多少；然后根據點D、E分別是邊BC、AC的中點，分別求出AE、BD的大小，即可求出 的值是多少．
②α=180°時，可得AB∥DE，然后根據 ，求出 的值是多少即可．（2）首先判斷出∠ECA=∠DCB，再根據 ，判斷出△ECA∽△DCB，即可求出 的值是多少，進而判斷出 的大小沒有變化即可．（3）根據題意，分兩種情況：①點A，D，E所在的直線和BC平行時；②點A，D，E所在的直線和BC相交時；然后分類討論，求出線段BD的長各是多少即可．