Question

【題目】如圖，已知點A（4，0），B（0，4 ），把一個直角三角尺DEF放在△OAB內，使其斜邊FD在線段AB上，三角尺可沿著線段AB上下滑動．其中∠EFD=30°，ED=2，點G為邊FD的中點．

（1）求直線AB的解析式；
（2）如圖1，當點D與點A重合時，求經過點G的反比例函數y= （k≠0）的解析式；
（3）在三角尺滑動的過程中，經過點G的反比例函數的圖象能否同時經過點F？如果能，求出此時反比例函數的解析式；如果不能，說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：設直線AB的解析式為y=kx+b，

∵A（4，0），B（0，4 ），

∴ ，

解得：

∴直線AB的解析式為：y=﹣ x+4

（2）

解：∵在Rt△DEF中，∠EFD=30°，ED=2，

∴EF=2 ，DF=4，

∵點D與點A重合，

∴D（4，0），

∴F（2，2 ），

∴G（3， ），

∵反比例函數y= 經過點G，

∴k=3 ，

∴反比例函數的解析式為：y=

（3）

解：經過點G的反比例函數的圖象能同時經過點F；理由如下：

∵點F在直線AB上，

∴設F（t，﹣ t+4 ），

又∵ED=2，

∴D（t+2，﹣ t+2 ），

∵點G為邊FD的中點．

∴G（t+1，﹣ t+3 ），

若過點G的反比例函數的圖象也經過點F，

設解析式為y= ，

則 ，

整理得：（﹣ t+3 ）（t+1）=（﹣ t+4 ）t，

解得：t= ，

∴m= ，

∴經過點G的反比例函數的圖象能同時經過點F，這個反比例函數解析式為：y=

【解析】（1）設直線AB的解析式為y=kx+b，把點A、B的坐標代入，組成方程組，解方程組求出k、b的值即可；（2）由Rt△DEF中，求出EF、DF，在求出點D坐標，得出點F、G坐標，把點G坐標代入反比例函數求出k即可；（3）設F（t，﹣ t+4 ），得出D、G坐標，設過點G和F的反比例函數解析式為y= ，用待定系數法求出t、m，即可得出反比例函數解析式．
【考點精析】本題主要考查了一次函數的性質的相關知識點，需要掌握一般地，一次函數y=kx+b有下列性質：（1）當k>0時，y隨x的增大而增大（2）當k<0時，y隨x的增大而減小才能正確解答此題．