Question

【題目】如圖，在△ABC中，點O是邊AC上一個動點，過點O作直線EF∥BC分別交∠ACB、外角∠ACD的平分線于點E，F．

（1）若CE=4，CF=3，求OC的長．

（2）連接AE、AF，問當點O在邊AC上運動到什么位置時，四邊形AECF是矩形？請說明理由．

Answer 1

【答案】(1)2.5: (2)見解析.

【解析】

（1）根據平行線的性質以及角平分線的性質得出∠OEC=∠OCE，∠OFC=∠OCF，證出OE=OC=OF，∠ECF=90°，由勾股定理求出EF，即可得出答案；（2）根據平行四邊形的判定以及矩形的判定得出即可．

（1）證明：∵EF交∠ACB的平分線于點E，交∠ACB的外角平分線于點F，

∴∠OCE=∠BCE，∠OCF=∠DCF，

∵EF∥BC，

∴∠OEC=∠BCE，∠OFC=∠DCF，

∴∠OEC=∠OCE，∠OFC=∠OCF，

∴OE=OC，OF=OC，

∴OE=OF；

∵∠OCE+∠BCE+∠OCF+∠DCF=180°，

∴∠ECF=90°，

在Rt△CEF中，由勾股定理得：EF==5，

∴OC=OE=EF=2.5；

（2）當點O在邊AC上運動到AC中點時，四邊形AECF是矩形．理由如下：

連接AE、AF，如圖所示：

當O為AC的中點時，AO=CO，

∵EO=FO，

∴四邊形AECF是平行四邊形，

∵∠ECF=90°，

∴平行四邊形AECF是矩形．