Question

【題目】已知：如圖，在四邊形ABCD中，∠D＝90°，∠ABC＝∠BCD，點E在直線BC上，點F在直線CD上，且∠AEB＝∠CEF.

(1)如圖20①，若AE平分∠BAD，求證：EF⊥AE；

(2)如圖20②，若AE平分四邊形ABCD的外角，其余條件不變，則(1)中的結(jié)論是否仍然成立？并說明理由．

Answer 1

【答案】(1)見解析;(2) EF⊥AE仍成立,理由見解析.

【解析】

（1）如圖1，先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得出∠BAE=180°-∠B-∠AEB，∠EFC=180°-∠C-∠CEF，由∠B=∠C，∠AEB=∠CEF，得到∠BAE=∠EFC，再由角平分線定義得出∠BAE=∠DAE，等量代換得到∠EFC=∠DAE．由平角的定義得出∠EFC+∠EFD=180°，那么∠DAE+∠EFD=180°，再根據(jù)四邊形內(nèi)角和定理求出∠AEF+∠D=360°-（∠DAE+∠EFD）=180°，進而得到∠AEF=90°，由垂直的定義證明出EF⊥AE；

（2）如圖2，先根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得出∠1=∠ABC-∠AEB，∠F=∠BCD-∠CEF，由∠ABC=∠BCD，∠AEB=∠CEF，得到∠1=∠F，再由角平分線定義得出∠1=∠2，等量代換得到∠F=∠2．由平角的定義得出∠2+∠EAD=180°，那么∠F+∠EAD=180°，再根據(jù)四邊形內(nèi)角和定理求出∠AEF+∠D=360°-（∠F+∠EAD）=180°，進而得到∠AEF=90°，由垂直的定義得出EF⊥AE．

（1）證明：如圖1，∵∠BAE=180°-∠B-∠AEB，∠EFC=180°-∠C-∠CEF，

∠B=∠C，∠AEB=∠CEF，

∴∠BAE=∠EFC，

∵AE平分∠BAD，

∴∠BAE=∠DAE，

∴∠EFC=∠DAE．

∵∠EFC+∠EFD=180°，

∴∠DAE+∠EFD=180°，

∴∠AEF+∠D=360°-（∠DAE+∠EFD）=180°，

∵∠D=90°，

∴∠AEF=90°，

∴EF⊥AE；

（2）解：如圖2，若AE平分∠BAD的外角，其余條件不變，（1）中結(jié)論沒有變化．理由如下：

∵∠1=∠ABC-∠AEB，∠F=∠BCD-∠CEF，

∠ABC=∠BCD，∠AEB=∠CEF，

∴∠1=∠F，

∵AE平分∠BAD的外角，

∴∠1=∠2，

∴∠F=∠2．

∵∠2+∠EAD=180°，

∴∠F+∠EAD=180°，

∴∠AEF+∠D=360°-（∠F+∠EAD）=180°，

∵∠D=90°，

∴∠AEF=90°，

∴EF⊥AE．