Question

【題目】◆探索發現：如圖是一種網紅彈弓的實物圖，在兩頭上系上皮筋，拉動皮筋可形成平面示意圖如圖1、圖2，彈弓的兩邊可看成是平行的，即．各活動小組探索與，之間的數量關系．已知，點不在直線和直線上．在圖1中，智慧小組發現：；

智慧小組是這樣思考的：過點作，……

請你按照智慧小組作的輔助線補全推理過程．

◆類比思考：①在圖2中，與，之間的數量關系為________．

②如圖3，已知，則角、、之間的數量關系為________．

◆解決問題：善思小組提出：如圖4，圖5．，，分別平分，．

①在圖4中，與之間的關系為________．

②在圖5中，與之間的關系為________．

Answer 1

【答案】探索發現：見解析；類比思考：①；②；解決問題：①；②．

【解析】

探索：發現由平行線的性質得出∠APQ=∠A，由PQ∥AB，AB∥CD，推出PQ∥CD，得出∠APQ=∠C，推出∠APQ+∠CPQ=∠A+∠C，即可得出結論；
類比思考①過點P作PQ∥AB，延長BA到M，延長DC到N，由平行線的性質得出∠APQ=∠PAM，由PQ∥AB，AB∥CD，推出PQ∥CD，得出∠APQ=∠PCN，則∠APQ+∠CPQ+∠PAB+∠PCD=360°，即可得出結果；
②過點M作MQ∥AB，由平行線的性質得出α+∠QMA=180°，由MQ∥AB，AB∥CD，推出MQ∥CD，得出∠QMD=γ，即可得出結果；
解決問題①過點P作PQ∥AB，過點F作FM∥AB，由平行線的性質得出∠APQ=∠BAP，∠AFM=∠BAF，由角平分線的性質得出∠BAF=∠PAF，即∠AFM=∠BAP，由PQ∥AB，FM∥AB，AB∥CD，推出PQ∥CD，FM∥CD，得出∠CPQ=∠DCP，∠CFM=∠DCF，由角平分線的性質得出∠DCF=∠PCF，即∠CFM=∠DCP，推出∠APC=∠BAP+∠DCP，∠AFC=（∠BAP+∠DCP），即可得出結果；
②過點P作PH∥AB，過點F作FQ∥AB，延長BA到M，延長DC到N，由平行線的性質得出∠APH=∠MAP，∠AFQ=∠BAF，由角平分線的性質得出∠BAF=∠PAF，即2∠AFQ=∠BAP，由PH∥AB，FQ∥AB，AB∥CD，推出PH∥CD，FQ∥CD，得出∠CPH=∠NCP，∠CFQ=∠DCF，由角平分線的性質得出∠DCF=∠PCF，即2∠CFQ=∠DCP，由∠BAP+∠MAP=180°，∠DCP+∠NCP=180°，得出2∠AFQ+∠APH=180°，2∠CFQ+∠CPH=180°，即可得出結果．

探索發現：

∴

∵、

∴

∴

∴

即

類比思考：①∠APC+∠A+∠C=360°；理由如下：
過點P作PQ∥AB，延長BA到M，延長DC到N，如圖2所示：

∴∠APQ=∠PAM，
∵PQ∥AB，AB∥CD，
∴PQ∥CD，
∴∠APQ=∠PCN，
∴∠APQ+∠CPQ+∠PAB+∠PCD=180°+180°=360°，
∴∠APC+∠A+∠C=360°，
故答案為：∠APC+∠A+∠C=360°；

②α+β-γ=180°；理由如下：
過點M作MQ∥AB，如圖3所示：
∴α+∠QMA=180°，
∵MQ∥AB，AB∥CD，
∴MQ∥CD，
∴∠QMD=γ，
∵∠QMA+∠QMD=β，
∴α+β-γ=180°，
故答案為：α+β-γ=180°；

解決問題：①∠AFC=∠APC；理由如下：
過點P作PQ∥AB，過點F作FM∥AB，如圖4所示：
∴∠APQ=∠BAP，∠AFM=∠BAF，
∵AF平分∠BAP，
∴∠BAF=∠PAF，
∴∠AFM=∠BAP，
∵PQ∥AB，FM∥AB，AB∥CD，
∴PQ∥CD，FM∥CD，
∴∠CPQ=∠DCP，∠CFM=∠DCF，
∵CF平分∠DCP，
∴∠DCF=∠PCF，
∴∠CFM=∠DCP，
∴∠APC=∠BAP+∠DCP，∠AFC=∠BAP+∠DCP=（∠BAP+∠DCP），
∴∠AFC=∠APC，
故答案為：∠AFC=∠APC；

②∠AFC=180°-∠APC；理由如下：
過點P作PH∥AB，過點F作FQ∥AB，延長BA到M，延長DC到N，如圖5所示：
∴∠APH=∠MAP，∠AFQ=∠BAF，
∵AF平分∠BAP，
∴∠BAF=∠PAF，
∴2∠AFQ=∠BAP，
∵PH∥AB，FQ∥AB，AB∥CD，
∴PH∥CD，FQ∥CD，
∴∠CPH=∠NCP，∠CFQ=∠DCF，
∵CF平分∠DCP，
∴∠DCF=∠PCF，
∴2∠CFQ=∠DCP，
∵∠BAP+∠MAP=180°，∠DCP+∠NCP=180°，
∴2∠AFQ+∠APH=180°，2∠CFQ+∠CPH=180°，
∴2∠AFQ+∠APH+2∠CFQ+∠CPH=360°，
即2∠AFC+∠APC=360°，
∴∠AFC=180°-∠APC，
故答案為：∠AFC=180°-∠APC．