Question

【題目】綜合與探究
如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線y=ax2+bx﹣8與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，直線l經過坐標原點O，與拋物線的一個交點為D，與拋物線的對稱軸交于點E，連接CE，已知點A，D的坐標分別為（﹣2，0），（6，﹣8）．

（1）求拋物線的函數表達式，并分別求出點B和點E的坐標；
（2）試探究拋物線上是否存在點F，使△FOE≌△FCE？若存在，請直接寫出點F的坐標；若不存在，請說明理由；
（3）若點P是y軸負半軸上的一個動點，設其坐標為（0，m），直線PB與直線l交于點Q，試探究：當m為何值時，△OPQ是等腰三角形．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵拋物線y=ax2+bx﹣8經過點A（﹣2，0），D（6，﹣8），

∴ ，解得 ，

∴拋物線解析式為y= x2﹣3x﹣8，

∵y= x2﹣3x﹣8= （x﹣3）2﹣ ，

∴拋物線對稱軸為直線x=3，

又∵拋物線與x軸交于點A、B兩點，點A坐標（﹣2，0），

∴點B坐標（8，0）．

設直線l的解析式為y=kx，

∵經過點D（6，﹣8），

∴6k=﹣8，

∴k=﹣ ，

∴直線l的解析式為y=﹣ x，

∵點E為直線l與拋物線的交點，

∴點E的橫坐標為3，縱坐標為﹣ ×3=﹣4，

∴點E坐標（3，﹣4）

（2）解：拋物線上存在點F使得△FOE≌△FCE，

此時點F縱坐標為﹣4，

∴ x2﹣3x﹣8=﹣4，

∴x2﹣6x﹣8=0，

x=3 ，

∴點F坐標（3+ ，﹣4）或（3﹣ ，﹣4）

（3）解：①如圖1

中，當OP=OQ時，△OPQ是等腰三角形．

∵點E坐標（3，﹣4），

∴OE= =5，過點E作直線ME∥PB，交y軸于點M，交x軸于點H．則 = ，

∴OM=OE=5，

∴點M坐標（0，﹣5）．

設直線ME的解析式為y=k1x﹣5，

∴3k1﹣5=﹣4，

∴k1= ，

∴直線ME解析式為y= x﹣5，

令y=0，得 x﹣5=0，解得x=15，

∴點H坐標（15，0），

∵MH∥PB，

∴ = ，即 = ，

∴m=﹣ ，

②如圖2

中，當QO=QP時，△POQ是等腰三角形．

∵當x=0時，y= x2﹣3x﹣8=﹣8，

∴點C坐標（0，﹣8），

∴CE= =5，

∴OE=CE，

∴∠1=∠2，

∵QO=QP，

∴∠1=∠3，

∴∠2=∠3，

∴CE∥PB，

設直線CE交x軸于N，解析式為y=k2x﹣8，

∴3k2﹣8=﹣4，

∴k2= ，

∴直線CE解析式為y= x﹣8，

令y=0，得 x﹣8=0，

∴x=6，

∴點N坐標（6，0），

∵CN∥PB，

∴ = ，

∴ = ，

∴m=﹣ ．

③OP=PQ時，顯然不可能，理由，

∵D（6，﹣8），

∴∠1＜∠BOD，

∵∠OQP=∠BOQ+∠ABP，

∴∠PQO＞∠1，

∴OP≠PQ，

綜上所述，當m=﹣ 或﹣ 時，△OPQ是等腰三角形

【解析】（1）根據待定系數法求出拋物線解析式即可求出點B坐標，求出直線OD解析式即可解決點E坐標．（2）拋物線上存在點F使得△FOE≌△FCE，此時點F縱坐標為﹣4，令y=﹣4即可解決問題．（3））①如圖1中，當OP=OQ時，△OPQ是等腰三角形，過點E作直線ME∥PB，交y軸于點M，交x軸于點H，求出點M、H的坐標即可解決問題．②如圖2中，當QO=QP時，△POQ是等腰三角形，先證明CE∥PQ，根據平行線的性質列出方程即可解決問題．