Question

如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，等腰Rt△AOB的斜邊OB在x軸上，直線經(jīng)過等腰Rt△AOB的直角頂點(diǎn)A，交y軸于C點(diǎn)．
(1) 求點(diǎn)A坐標(biāo)； 
(2)若點(diǎn)P為x軸上一動(dòng)點(diǎn)．點(diǎn)Q的坐標(biāo)是（，），△PAQ是以點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)的等腰三角形．求出的值并寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)．
（3）在(2)的條件下，若D是坐標(biāo)平面內(nèi)任意一點(diǎn)，使點(diǎn)A、P、Q、D剛好能構(gòu)成平行四邊形，請(qǐng)直接寫出符合條件的點(diǎn)D的坐標(biāo)
．

Answer 1

（1）A（2，2）；（2）a=4，Q（4，1）（3）D點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣1，1），（5，3），（3，﹣2）．

試題分析：（1）過點(diǎn)A分別作AM⊥y軸于M點(diǎn)，AN⊥x軸于N點(diǎn)，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（a，a），因?yàn)辄c(diǎn)A在直線y=2x﹣2上，即把A點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式即可算出a的值，進(jìn)而得到A點(diǎn)坐標(biāo)．
（2）連接AQ，過A點(diǎn)作AP⊥AQ交x軸于P點(diǎn)．由ASA易證△AOP≌△ABQ，得出∠AOP=∠ABQ=45，從而求得QB⊥OB，根據(jù)B點(diǎn)、Q點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等得出結(jié)果．
（3）因?yàn)辄c(diǎn)D與A，P，Q三點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形，所以需分情況討論：因?yàn)锳（2，2），P（﹣1，0），Q（4，1），利用平行四邊形的對(duì)邊分別平行且相等，
若QD∥BA，則符合條件的點(diǎn)D的坐標(biāo)分別是D₁（5，3），D₂（3，﹣2）；若PD∥QA，則符合條件的點(diǎn)D的坐標(biāo)分別是D₂（3，﹣2），D₃（﹣1，1）．
試題解析：（1）過點(diǎn)A分別作AM⊥y軸于M點(diǎn)，AN⊥x軸于N點(diǎn)，
∵△AOB是等腰直角三角形，
∴AM=AN．
設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（a，a），
∵點(diǎn)A在直線y=2x﹣2上，
∴a=2a﹣2，
解得a=2，
∴A（2，2）

（2）連接AQ，過A點(diǎn)作AP⊥AQ交x軸于P點(diǎn)，
則△APQ為等腰直角三角形．
∵∠OAB=∠PAQ=90°
∴∠OAB﹣∠PAB=∠PAQ﹣∠PAB，
∴∠OAP=∠BAQ，
在△APO與△ABQ中

∴△APO≌△ABQ（SAS），
∴∠AOP=∠ABO=45°
∴QB⊥OB
∵A（2，2）
∴B（4，0）
∵Q點(diǎn)的坐標(biāo)是（a，），
∴a=4，
∴Q（4，1），

（3）在（2）的條件下，若D是坐標(biāo)平面內(nèi)任意一點(diǎn)，使點(diǎn)A、P、Q、D剛好能構(gòu)成平行四邊形，則D點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣1，1），（5，3），（3，﹣2）．