Question

【題目】如圖，已知直線AB與正比例函數的圖象交于點，與y軸交于點．點P為直線OA上的動點，點P的橫坐標為t，以點P為頂點，作長方形PDEF，滿足軸，且，．

（1）求k的值及直線AB的函數表達式，并判定時，點E是否落在直線AB上；

（2）在點P運動的過程中，當點F落在直線AB上時，求t的值；

（3）在點P運動的過程中，若長方形PDEF與直線AB有公共點，求t的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）,直線AB的函數表達式為, 當時，點E落在直線AB上；（2）；（3）若長方形PDEF與直線AB有公共點，則t的取值范圍為．

【解析】

（1）根據待定系數法即可求得k值及直線AB的函數表達式，然后根據題意求得E的坐標，當然直線AB的解析式即可判斷E在直線AB上；

（2）根據直線OA的解析式得出P的坐標，根據題意求得F的坐標，代入直線AB的解析式，即可求得t的值；

（3）表示出D的坐標，代入直線AB的解析式，求得t的值，再結合（1）即可求得矩形PDEF與直線AB有公共點時的t的取值范圍．

（1）將代入，得：，解得：．

因為直線AB與y軸交于點，所以可設直線AB的函數表達式為，將代入，得，解得，所以直線AB的函數表達式為．

當時，點P的坐標為，所以點E的坐標為，把代入，得：，所以當時，點E落在直線AB上．

（2）因為點P為直線OA上，所以點P的坐標為，所以．

把代入，得：，解得：．

（3）在點P沿直線向下運動的過程中，當點F位于直線AB上時，長方形PDEF與直線AB有一個公共點，由（2）知，此時．

若點P繼續向下運動，則長方形PDEF與直線AB不再有公共點．

在點P沿直線向上運動的過程中，當點D位于直線AB上時，長方形PDEF與直線AB有一個公共點，易知點，把代入，得：，解得：．

若點P繼續向上運動，則長方形PDEF與直線AB不再有公共點．

綜上可知：若長方形PDEF與直線AB有公共點，則t的取值范圍為．