Question

【題目】已知：如圖，直線AB與x軸y軸分別交于A，B兩點，與雙曲線y= 在第一象限內交于點C，BO=2AO=4，△AOC的面積為2 +2．
（1）求點C的坐標和k的值；
（2）若點P在雙曲線y= 上，點Q在y軸上，且以A，B，P，Q為頂點的四邊形為平行四邊形，求所有符合題意的點Q的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵BO=2AO=4，

∴A（﹣2，0），B（0，4），

設直線AB的解析式為y=mx+n，

把A（﹣2，0），B（0，4）分別代入得 ，解得 ，

∴直線AB的解析式為y=2x+4，

設C（t，2t+4）

∵△AOC的面積為2 +2．

∴ 2（2t+4）=2 +2，解得t= ﹣1，

∴C（ ﹣1，2 +2），

把C（ ﹣1，2 +2）代入y= 得k=（ ﹣1）（2 +2）=12

（2）解：當平行四邊形為AQPB時，把A點向右平移2個單位得到Q1點，則B點向右平移2個單位得到P1點，所以P1（2，6），即B點向右平移2個單位，再向上平移2個單位得到P1點，所以A點向右平移2個單位，再向上平移2個單位得到點Q1（0，2）；

當平行四邊形為APQB時，則P2（﹣2，﹣6），即點A向下平移6個單位得到點P2，則B點向下平移6個單位得到點Q2（0，﹣2）；

當平行四邊形為APBQ時，則P2（﹣2，﹣6），即點A向下平移6個單位得到點P2，則B點向上平移6個單位得到點Q3（0，10）；

綜上所述，滿足條件的Q點坐標為（0，2）、（0，﹣2）、（0，10）．

【解析】（1）先由BO=2AO=4得到A（﹣2，0），B（0，4），再利用待定系數法求出直線AB的解析式為y=2x+4，設C（t，2t+4），利用三角形面積公式得到 2（2t+4）=2 +2，然后解方程求出t即可得到C點坐標，再利用反比例函數圖像上點的坐標特征求k的值；（2）分類討論：分AB為平行四邊形的邊和對角線討論，根據平行四邊形的性質，利用點平移的坐標規律求出對應的P點和Q點坐標．
【考點精析】掌握平行四邊形的性質是解答本題的根本，需要知道平行四邊形的對邊相等且平行；平行四邊形的對角相等，鄰角互補；平行四邊形的對角線互相平分．