Question

【題目】如圖，已知△ABC中，AB=AC，把△ABC繞A點沿順時針方向旋轉得到△ADE，連接BD，CE交于點F，BD交AE于M．
（1）求證：△AEC≌△ADB；
（2）若BC=2，∠BAC=30°，當四邊形ADFC是菱形時，求BF的長．

Answer 1

【答案】
（1）解：由旋轉的性質得：△ABC≌△ADE，且AB=AC，

∴AE=AD，AC=AB，∠BAC=∠DAE，

∴∠BAC+∠BAE=∠DAE+∠BAE，

即∠CAE=∠DAB，

在△AEC和△ADB中，

，

∴△AEC≌△ADB（SAS）

（2）解：如圖，過點B作BG⊥EC于點G，

∵∠BAC=30°，AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB=75°．

∵當四邊形ADFC是菱形時，AC∥DF，

∴∠FBA=∠BAC=30°，

∵AB=AD，

∴∠ADB=∠ABD=30°，

∴∠ACE=∠ADB=30°，

∴∠FCB=45°．

∵BG⊥EC，

∴∠GBC=45°，

∴BG=GC=BCsin45°= ×2= ，

∵∠ABC=75°，∠ABD=30°，∠FCB=45°

∴∠BFC=180°﹣75°﹣45°﹣30°=30°，

∴BF=2BG=2

【解析】（1）根據旋轉的性質得：△ABC≌△ADE，且AB=AC，進而得到∠CAE=∠DAB，再根據SAS即可判定△AEC≌△ADB；（2）過點B作BG⊥EC于點G，根據四邊形ADFC是菱形，以及等腰三角形的性質，得出∠FCB=45°，求得BG=GC=BCsin45°= ×2= ，再根據∠BFC=30°，即可得到BF=2BG．
【考點精析】利用等腰直角三角形和含30度角的直角三角形對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知等腰直角三角形是兩條直角邊相等的直角三角形；等腰直角三角形的兩個底角相等且等于45°；在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半．