Question

【題目】如圖，直線y=2x+3與y軸交于A點，與反比例函數y=（x＞0）的圖象交于點B，過點B作BC⊥x軸于點C，且C點的坐標為（1，0）．

（1）求反比例函數的解析式；

（2）點D（a，1）是反比例函數y=（x＞0）圖象上的點，在x軸上是否存在點P，使得PB+PD最小？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=；（2）P（，0）.

【解析】

試題分析： （1）把x=1代入y=2x+3中，可求得B點坐標為（1，5），再帶到反比例函數解析式中可求得反比例函數解析式；（2）作D關于x軸的對稱點D′，連接BD′，與x軸交點即為點P.

試題解析：（1）∵BC⊥x軸于點C，且C點的坐標為（1，0），∴把x=1代入y=2x+3中，y=2+3=5，∴點B的坐標為（1，5），又∵點B（1，5）在反比例函數y=上，∴k=1×5=5，∴反比例函數的解析式為：y=；

（2）將點D（a，1）代入y=，得：a=5，∴點D坐標為（5，1），則點D（5，1）關于x軸的對稱點為D′（5，﹣1），設過B（1，5）、D′（5，﹣1）的直線解析式為：y=kx+b，可得，解得，

∴直線BD′的解析式為：y=﹣x+，直線BD′與x軸的交點即為所求點P，當y=0時，得：﹣x+ =0，解得：x=，故點P的坐標為（，0）．