Question

【題目】已知O為坐標原點，拋物線y1=ax2+bx+c（a≠0）與x軸相交于點A（x1 ， 0），B（x2 ， 0），與y軸交于點C，且O，C兩點間的距離為3，x1x2＜0，|x1|+|x2|=4，點A，C在直線y2=﹣3x+t上．
（1）求點C的坐標
（2）當y1隨著x的增大而增大時，求自變量x的取值范圍；
（3）將拋物線y1向左平移n（n＞0）個單位，記平移后y隨著x的增大而增大的部分為P，直線y2向下平移n個單位，當平移后的直線與P有公共點時，求2n2﹣5n的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：令x=0，則y=c，

故C（0，c），

∵OC的距離為3，

∴|c|=3，即c=±3，

∴C（0，3）或（0，﹣3）；

（2）

解：∵x1x2＜0，

∴x1，x2異號，

①若C（0，3），即c=3，

把C（0，3）代入y2=﹣3x+t，則0+t=3，即t=3，

∴y2=﹣3x+3，

把A（x1，0）代入y2=﹣3x+3，則﹣3x1+3=0，

即x1=1，

∴A（1，0），

∵x1，x2異號，x1=1＞0，∴x2＜0，

∵|x1|+|x2|=4，

∴1﹣x2=4，

解得：x2=﹣3，則B（﹣3，0），

代入y1=ax2+bx+3得，，

解得：，

∴y1=﹣x2﹣2x+3=﹣（x+1）2+4，

則當x≤﹣1時，y隨x增大而增大．

②若C（0，﹣3），即c=﹣3，

把C（0，﹣3）代入y2=﹣3x+t，則0+t=﹣3，即t=﹣3，

∴y2=﹣3x﹣3，

把A（x1，0），代入y2=﹣3x﹣3，

則﹣3x1﹣3=0，

即x1=﹣1，

∴A（﹣1，0），

∵x1，x2異號，x1=﹣1＜0，∴x2＞0

∵|x1|+|x2|=4，

∴1+x2=4，

解得：x2=3，則B（3，0），

代入y1=ax2+bx+3得，，

解得：，

∴y1=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，

則當x≥1時，y隨x增大而增大，

綜上所述，若c=3，當y隨x增大而增大時，x≤﹣1；

若c=﹣3，當y隨x增大而增大時，x≥1；

（3）

解：①若c=3，則y1=﹣x2﹣2x+3=﹣（x+1）2+4，y2=﹣3x+3，

y1向左平移n個單位后，則解析式為：y3=﹣（x+1+n）2+4，

則當x≤﹣1﹣n時，y隨x增大而增大，

y2向下平移n個單位后，則解析式為：y4=﹣3x+3﹣n，

要使平移后直線與P有公共點，則當x=﹣1﹣n，y3≥y4，

即﹣（﹣1﹣n+1+n）2+4≥﹣3（﹣1﹣n）+3﹣n，

解得：n≤﹣1，

∵n＞0，∴n≤﹣1不符合條件，應舍去；

②若c=﹣3，則y1=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，y2=﹣3x﹣3，

y1向左平移n個單位后，則解析式為：y3=（x﹣1+n）2﹣4，

則當x≥1﹣n時，y隨x增大而增大，

y2向下平移n個單位后，則解析式為：y4=﹣3x﹣3﹣n，

要使平移后直線與P有公共點，則當x=1﹣n，y3≤y4，

即（1﹣n﹣1+n）2﹣4≤﹣3（1﹣n）﹣3﹣n，

解得：n≥1，

綜上所述：n≥1，

2n2﹣5n=2（n﹣）2﹣，

∴當n=時，2n2﹣5n的最小值為：﹣．

【解析】（1）利用y軸上點的坐標性質表示出C點坐標，再利用O，C兩點間的距離為3求出即可；
（2）分別利用①若C（0，3），即c=3，以及②若C（0，﹣3），即c=﹣3，得出A，B點坐標，進而求出函數解析式，進而得出答案；
（3）利用①若c=3，則y1=﹣x2﹣2x+3=﹣（x+1）2+4，y2=﹣3x+3，得出y1向左平移n個單位后，則解析式為：y3=﹣（x+1+n）2+4，進而求出平移后的直線與P有公共點時得出n的取值范圍，②若c=﹣3，則y1=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，y2=﹣3x﹣3，y1向左平移n個單位后，則解析式為：y3=（x﹣1+n）2﹣4，進而求出平移后的直線與P有公共點時得出n的取值范圍，進而利用配方法求出函數最值．