Question

【題目】問題背景：

如圖1，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠D=90°．E、F分別是BC、CD上的點，且∠EAF=60°．為了探究圖中線段BE，EF，FD之間的數量關系，小紅的想法是：在EB的延長線上取一點G，使得BG=DF，連接AG，證明△ABG≌△ADF；再證明△AGE≌△AFE，從而得到結論，她的結論是_____________.

探索延伸：

如圖2，若在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°．E、F分別是BC、CD上的點，且∠EAF＝∠BAD，上述結論是否仍然成立，并說明理由.

實際應用：

如圖3，在某次軍事演習中，艦艇甲在指揮中心(O處)北偏西40°的A處，艦艇乙在指揮中心南偏東80°的B處，并且兩艦艇到指揮中心的距離相等，接到行動指令后，艦艇甲向正東方向以50海里/小時的速度，同時艦艇乙沿北偏東50°的方向以70海里/小時的速度各自前進2小時后，在指揮中心觀測到甲、乙兩艦艇分別到達E，F處，兩艦艇與指揮中心之間的夾角為70°，則此時兩艦艇之間的距離為______海里．

Answer 1

【答案】問題背景：EF=BE+DF；探索延伸：EF=BE+DF仍然成立；實際應用：240海里.

【解析】

問題背景：延長FD到點G．使DG=BE．連結AG，即可證明△ABE≌△ADG，可得AE=AG，再證明△AEF≌△AGF，可得EF=FG，即可解題；

探索延伸：延長FD到點G．使DG=BE．連結AG，即可證明△ABE≌△ADG，可得AE=AG，再證明△AEF≌△AGF，可得EF=FG，即可解題；

結論應用：連接EF，延長AE、BF相交于點C，然后與（2）同理可證；

解：問題背景：EF=BE+DF，證明如下：
在△ABE和△ADG中，

∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，
∵∠EAF=∠BAD，
∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=∠EAF，
∴∠EAF=∠GAF，
在△AEF和△GAF中，

∴△AEF≌△AGF（SAS），
∴EF=FG，
∵FG=DG+DF=BE+DF，
∴EF=BE+DF；
故答案為：EF=BE+DF；

探索延伸：結論EF=BE+DF仍然成立；
理由：延長FD到點P．使DP=BE．連結AP，如圖2，

在△ABE和△ADP中，

∴△ABE≌△ADP（SAS），
∴AE=AP，∠BAE=∠DAP，
∵∠EAF=∠BAD，
∴∠PAF=∠DAP+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=∠EAF，
∴∠EAF=∠PAF，
在△AEF和△PAF中，

∴△AEF≌△APF（SAS），
∴EF=FP，
∵FP=DP+DF=BE+DF，
∴EF=BE+DF；
結論應用：如圖3，連接EF，延長AE、BF相交于點C，

∵∠AOB=40°+90°+（90°-80°）=140°，∠EOF=70°，
∴∠EOF=∠AOB，
又∵OA=OB，∠OAC+∠OBC=（90°-40°）+（80°+50°）=180°，
∴符合探索延伸中的條件，
∴結論EF=AE+BF成立，
即EF=2×（50+70）=240海里．
答：此時兩艦艇之間的距離是240海；