Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB=AC，點E在CA延長線上，EP⊥BC于點P，交AB于點F．

（1）求證：∠E=∠AFE；
（2）若AF=2，BF=5，△ABC的周長為m，求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵AB=AC，

∴∠B=∠C，

∵EP⊥BC，

∴∠C+∠E=90°，∠B+∠BFP=90°，

∴∠E=∠BFP，

又∵∠BFP=∠AFE，

∴∠E=∠AFE

（2）解：∵∠E=∠AFE，

∴AF=AE，

∴△AEF是等腰三角形．

又∵AF=2，BF=5，

∴CA=AB=7，AE=2，

∴CE=9；

∵0＜BC＜14，

∴14＜△ABC的周長＜28，即14＜m＜28

【解析】（1）根據等邊對等角得出∠B=∠C，再根據EP⊥BC，得出∠C+∠E=90°，∠B+∠BFP=90°，從而得出∠D=∠BFP，再根據對頂角相等得出∠E=∠AFE；（2）根據等角對等邊即可得出CE，然后由三角形的三邊關系即可得到結論．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用等腰三角形的性質的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握等腰三角形的兩個底角相等（簡稱：等邊對等角）．