Question

【題目】如圖，平行四邊形的對角線、相交于點O，．

（1）如圖1，過B作于E，若，，求的長；

（2）如圖2，若，過點C作交于點F，過點B作且，連接．求證：．

Answer 1

【答案】（1）-4；（2）見解析．

【解析】

（1）由勾股定理可求CE的長，由平行四邊形的性質可得CO的長，即可求OE的長；
（2）延長CF交AB于點H，由“SAS”可證△ABG≌△FCB，可得AG=BF，由等腰三角形的性質可得AB=CD=2BH，再證明三角形BFH為等腰直角三角形，從而得出BF=BH①；在Rt△CDF中，得出DF=CD=AB=2BH，繼而得出OF=BO-BF=BH②，結合①②可得出結論．

（1）解：∵BC=AC=8，BE=5，，
∴CE=．

∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AO=CO=4，
∴OE=EC-OC=-4；

（2）證明：如圖，延長CF交AB于點H，

∵CF⊥CD，∠BDC=45°，
∴∠BDC=∠DFC=45°，
∴∠FBC+∠FCB=45°，CF=CD，
∵BC⊥BG，∠ABD=∠BDC=45°，
∴∠GBA+∠FBC=45°，
∴∠ABG=∠BCF，且AB=CD=CF，BC=BG，
∴△ABG≌△FCB（SAS），
∴AG=BF．
∵∠ABG+∠ABC=90°，∴∠BCF+∠ABC=90°，
∴CH⊥AB，又AC=BC，∴BH=AH，∴AB=CD=2BH．

∵AB∥CD，

∴∠ABF=∠CDB=45°，

∴∠HBF=∠BFH=45°，∴BH=FH，

∴BF=BH①．
在Rt△CDF中，CD=CF，∴DF=CD=AB=2BH，

∴BD=BF+DF=BH +2BH=3BH，

∴BO=BD=BH，

∴OF=BO-BF=BH②，

∴由①②得，BF=2OF，

∴AG=2OF．