Question

【題目】已知二次函數y=ax2+bx﹣2的圖象與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，點A的坐標為（4，0），且當x=﹣2和x=5時二次函數的函數值y相等．

（1）求實數a、b的值；
（2）如圖1，動點E，F同時從A點出發，其中點E以每秒2個單位長度的速度沿AB邊向終點B運動，點F以每秒 個單位長度的速度沿射線AC方向運動．當點E停止運動時，點F隨之停止運動．設運動時間為t秒．連接EF，將△AEF沿EF翻折，使點A落在點D處，得到△DEF．
①是否存在某一時刻t，使得△DCF為直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．
②設△DEF與△ABC重疊部分的面積為S，求S關于t的函數關系式．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意得

解得： ．

（2）解：①由（1）知二次函數為y= x2﹣ x﹣2

∵A（4，0），

∴B（﹣1，0），C（0，﹣2）

∴OA=4，OB=1，OC=2

∴AB=5，AC=2 ，BC=

∴AC2+BC2=25=AB2

∴△ABC為直角三角形，且∠ACB=90°

∵AE=2t，AF= t，

∴ = =

又∵∠EAF=∠CAB，

∴△AEF∽△ACB

∴∠AEF=∠ACB=90°

∴△AEF沿EF翻折后，點A落在x軸上點D處；

由翻折知，DE=AE，

∴AD=2AE=4t，EF= AE=t

假設△DCF為直角三角形

當點F在線段AC上時

ⅰ）若C為直角頂點，則點D與點B重合，如圖2

∴AE= AB= t= ÷2= ；

ⅱ）若D為直角頂點，如圖3

∵∠CDF=90°，

∴∠ODC+∠EDF=90°

∵∠EDF=∠EAF，

∴∠OBC+∠EAF=90°

∴∠ODC=∠OBC，

∴BC=DC

∵OC⊥BD，

∴OD=OB=1

∴AD=3，

∴AE=

∴t= ；

當點F在AC延長線上時，∠DFC＞90°，△DCF為鈍角三角形

綜上所述，存在時刻t，使得△DCF為直角三角形，t= 或t= ．

②ⅰ）當0＜t≤ 時，重疊部分為△DEF，如圖1、圖2

∴S= ×2t×t=t2；

ⅱ）當 ＜t≤2時，設DF與BC相交于點G，則重疊部分為四邊形BEFG，如圖4

過點G作GH⊥BE于H，設GH=m

則BH= ，DH=2m，∴DB=

∵DB=AD﹣AB=4t﹣5

∴ =4t﹣5，

∴m= （4t﹣5）

∴S=S△DEF﹣S△DBG= ×2t×t﹣ （4t﹣5）× （4t﹣5）=﹣ t2+ t﹣ ；

ⅲ）當2＜t≤ 時，重疊部分為△BEG，如圖5

∵BE=DE﹣DB=2t﹣（4t﹣5）=5﹣2t，GE=2BE=2（5﹣2t）

∴S= ×（5﹣2t）×2（5﹣2t）=4t2﹣20t+25．

【解析】（1）根據拋物線圖象經過點A以及“當x=-2和x=5時二次函數的函數值y相等”兩個條件，列出方程組求出待定系數的值即可解答．
（2）①首先由拋物線解析式能得到點A、B、C三點的坐標，則線段OA、OB、OC的長可求，進一步能得出AB、BC、AC的長；首先用t 表示出線段AD、AE、AF（即DF）的長，則根據AE、EF、OA、OC的長以及公共角∠OAC能判定△AEF、△AOC相似，那么△AEF也是一個直角三角形，及∠AEF是直角；若△DCF是直角，可分成三種情況討論：
i）、點C為直角頂點，由于△ABC恰好是直角三角形，且以點C為直角頂點，所以此時點B、D重合，由此得到AD的長，進而求出t的值；
ii）、點D為直角頂點，此時∠CDB與∠CBD恰好是等角的余角，由此可證得OB=OD，再得到AD的長后可求出t的值；
iii）、點F為直角頂點，當點F在線段AC上時，∠DFC是銳角，而點F在射線AC的延長線上時，∠DFC又是鈍角，所以這種情況不符合題意．
②此題需要分三種情況討論：
i）、當點E在點A與線段AB中點之間時，兩個三角形的重疊部分是整個△DEF；
ii）、當點E在線段AB中點與點O之間時，重疊部分是個不規則四邊形，那么其面積可由大直角三角形與小鈍角三角形的面積差求得；
iii）、當點E在線段OB上時，重疊部分是個小直角三角形．