Question

【題目】如圖，已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象與x軸交于點A（﹣1，0），對稱軸為直線x=1，與y軸的交點B在（0，2）和（0，3）之間（包括這兩點），下列結論：
①當x＞3時，y＜0；②3a+b＜0；③﹣1≤a≤﹣；④4ac﹣b2＞8a；
其中正確的結論是（　　）

A.①③④
B.①②③
C.①②④
D.①②③④

Answer 1

【答案】B
【解析】①由拋物線的對稱性可求得拋物線與x軸令一個交點的坐標為（3，0），當x＞3時，y＜0，故①正確；
②拋物線開口向下，故a＜0，
∵x=﹣=1，
∴2a+b=0．
∴3a+b=0+a=a＜0，故②正確；
③設拋物線的解析式為y=a（x+1）（x﹣3），則y=ax2﹣2ax﹣3a，
令x=0得：y=﹣3a．
∵拋物線與y軸的交點B在（0，2）和（0，3）之間，
∴2≤﹣3a≤3．
解得：﹣1≤a≤﹣，故③正確；
④．∵拋物線y軸的交點B在（0，2）和（0，3）之間，
∴2≤c≤3，
由4ac﹣b2＞8a得：4ac﹣8a＞b2 ，
∵a＜0，
∴c﹣2＜
∴c﹣2＜0
∴c＜2，與2≤c≤3矛盾，故④錯誤．
故選：B．
【考點精析】利用二次函數(shù)圖象以及系數(shù)a、b、c的關系對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知二次函數(shù)y=ax2+bx+c中，a、b、c的含義：a表示開口方向：a>0時，拋物線開口向上; a<0時，拋物線開口向下b與對稱軸有關：對稱軸為x=-b/2a;c表示拋物線與y軸的交點坐標：（0，c）．