Question

【題目】已知BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，且∠BED =∠ABE +∠EDC．

（1）如圖1，求證：AB//CD；

（2）如圖2，若∠ABE=3∠ABF，且∠BFD=30°時，試求的值；

（3）如圖3，若H是直線CD上一動點（不與D重合），BI平分∠HBD，畫出圖形，并探究出∠EBI與∠BHD的數量關系．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）∠BHD=2∠EBI或∠BHD+2∠EBI=180°．

【解析】

（1）由∠BED =∠ABE +∠EDC和三角形內角和定理即可得到∠ABD+∠BDC=180°，再由同旁內角互補，兩直線平行即可得到結論；

（2）由角平分線定義和∠ABD+∠BDC=180°，得到∠BED=∠ABE+∠EDC=90°．

設∠ABF=α，則∠ABE=3α，過F作FG∥AB，則有∠ABF+∠CDF=∠BFD，得到∠CDF=30°-α．過E作EH∥AB，同理可得：∠CDE=90°-3α，根據角的和差得到∠FDE=60°-2α，即可得到結論；

（3）分兩種情況討論：①當H在點D的左邊時，②當H在點D右邊時．

（1）∵∠BED =∠ABE +∠EDC，∠EBD+∠BED+∠BDE=180°，∴∠ABD+∠BDC=180°，∴AB∥CD；

（2）∵BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，∴∠ABE=∠EBD，∠EDC=∠EDB．

∵∠ABD+∠BDC=180°，∴∠BED=∠ABE+∠EDC=90°．

設∠ABF=α，則∠ABE=3α．

過F作FG∥AB，則有：∠ABF+∠CDF=∠BFD，∴∠CDF=30°-α．

過E作EH∥AB，則有：∠ABE+∠CDE=∠BED，∴∠CDE=90°-3α，∴∠FDE=60°-2α，∴．

（3）分兩種情況討論：

①當H在點D的左邊時，如圖3．

設∠HBI=∠DBI=x，∠EBH=y，則∠EBD=2x+y，∴∠ABE=∠EBD=2x+y．

∵AB∥CD，∴∠BHD=∠ABH=2x+y+y=2（x+y）=2∠EBI；

②當H在點D右邊時，如圖4．

設∠HBI=∠DBI=x，∠EBD=y，則∠EBI=x+y，∴∠ABH=2x+2y．

∵AB∥CD，∴∠ABH+∠BHD=180°，∴2x+2y+∠BHD=180°，∴∠BHD+2∠EBI=180°．

綜上所述：∠BHD=2∠EBI或∠BHD+2∠EBI=180° ．