Question

【題目】如圖，點(diǎn)P在以AB為直徑的半圓內(nèi)，連接AP、BP，并延長分別交半圓于點(diǎn)C、D，連接AD、BC并延長交于點(diǎn)F，作直線PF，下列說法一定正確的是（ ）

①AC垂直平分BF；②AC平分∠BAF；③FP⊥AB；④BD⊥AF．

A. ①③ B. ①④ C. ②④ D. ③④

Answer 1

【答案】D

【解析】試題分析：①∵AB為直徑，∴∠ACB=90°，∴AC垂直BF，但不能得出AC平分BF，故①錯(cuò)誤，②如圖1，連結(jié)CD，

∵AB為直徑，∴∠ADB=90°，∴∠BDF=90°，假設(shè)AC平分∠BAF成立，則有DC=BC，∴在RT△FDB中，DC=BC=FC，∴AC⊥BF，且平分BF，∴AC垂直BF，但不能得出AC平分BF，與①中的AC垂直BF，但不能得出AC平分BF相矛盾，故②錯(cuò)誤，③如圖2：

∵AB為直徑，∴∠ACB=90°，∠ADB=90°，∴D、P、C、F四點(diǎn)共圓，∴∠CFP和∠CDB都對(duì)應(yīng)，∴∠CFP=∠CDB，∵∠CDB=∠CAB，∴∠CFP=∠CAB，又∵∠FPC=∠APM，∴△AMP∽△FCP，∠ACF=90°，∴∠AMP=90°，∴FP⊥AB，故③正確，④∵AB為直徑，∴∠ADB=90°，∴BD⊥AF．

故④正確，綜上所述只有③④正確．

故選D．