Question

【題目】有兩個內角分別是它們對角的一半的四邊形叫做半對角四邊形．

（1）如圖1，在半對角四邊形ABCD中，∠B＝∠D，∠C＝∠A，求∠B與∠C的度數之和；

（2）如圖2，銳角△ABC內接于⊙O，若邊AB上存在一點D，使得BD＝BO．∠OBA的平分線交OA于點E，連結DE并延長交AC于點F，∠AFE＝2∠EAF．

求證：四邊形DBCF是半對角四邊形；

（3）如圖3，在（2）的條件下，過點D作DG⊥OB于點H，交BC于點G．當DH＝BG時，求△BGH與△ABC的面積之比．

Answer 1

【答案】（1）∠B與∠C的度數之和120°；（2）證明見解析；（3）.

【解析】試題分析：（1）在半對角四邊形ABCD中，∠B=∠D，∠C=∠A；根據四邊形的內角和為360°，得出∠B與∠C的度數之和；

（2）如圖連接OC，根據條件先證△BED≌△BEO，再根據全等三角形的性質得出∠BCF=∠BOE=∠BDE；設∠EAF=α，則∠AFE=2∠EAF=2α得出∠EFC=180°-∠AFE=180°-2α；再根據OA=OC得出∠OAC=∠OCA=α， 根據三角形內角和得出∠AOC=180°-∠OAC-∠OCA=180°-2α；從而得證.

（3）如圖，過點作OM⊥BC于點M，由四邊形DBCF是半對角四邊形，得出∠ABC+∠ACB=120°，∠BAC=60°，∠BOC=2∠BAC=120°；再由OB=OC，得出∠OBC=∠OCB=30°，BC=2BM=BO=BD；根據△DBG～△CBA得出答案.

試題解析：（1）在半對角四邊形ABCD中，∠B=∠D，∠C=∠A，

∵∠A+∠B+∠C+∠D=360°，

∴3∠B+3∠C=360°，

∴∠B+∠C=120°，

即∠B與∠C的度數之和120°；

（2）在△BED和△BEO中，

，

∴△BED≌△BEO（SAS），

∴∠BDE=∠BOE，

又∵∠BCF=∠BOE，

∴∠BCF=∠BDE，

如圖，連結OC，

設∠EAF=α，.則∠AFE=2∠EAF=2α，

∴∠EFC=180°-∠AFE=180°-2α，

∵OA=OC,

∴∠OAC=∠OCA=α，

∴∠AOC=180°-∠OAC-∠OCA=180°-2α，

∴∠ABC=∠AOC=∠EFC.

∴四邊形DBCF是半對角四邊形；

（3）如圖，作過點OM⊥BC于點M.

∵四邊形DBCF是半對角四邊形，

∴∠ABC+∠ACB=120°，

∴∠BAC=60°，

∴∠BOC=2∠BAC=120°，

∵OB=OC，

∴∠OBC=∠OCB=30°，

∴BC=2BM=BO=BD，

∵DG⊥OB，

∴∠HGB=∠BAC=60°，

∵∠DBG=∠CBA，

∴△DBG∽△CBA，

∴ ，

∵DH=BG，BG=2HG，

∴DG=3HG，

∴，

∴.