Question

【題目】閱讀下列材料：

我們給出如下定義：數軸上給定兩點，以及一條線段，若線段的中點在線段上（點可以與點或重合），則稱點與點關于線段徑向對稱.下圖為點與點關于線段徑向對稱的示意圖.

解答下列問題：

如圖1，在數軸上，點為原點，點表示的數為-1，點表示的數為2.

（1）①點，，分別表示的數為-3，，3，在，，三點中， 與點關于線段徑向對稱；

②點表示的數為，若點與點關于線段徑向對稱，則的取值范圍是 ；

（2）在數軸上，點，，表示的數分別是-5，-4，-3，當點以每秒1個單位長度的速度向正半軸方向移動時，線段同時以每秒3個單位長度的速度向正半軸方向移動.設移動的時間為（）秒，問為何值時，線段上至少存在一點與點關于線段徑向對稱.

Answer 1

【答案】（1）①點C和點D；②1≤x≤5；（2）

【解析】

（1）根據題干中給出的徑向對稱的定義，進行驗證解答即可；

（2）根據題干中給出的徑向對稱的定義，列出點x與點A中點的取值范圍，即可求出答案；

（3）用含t的代數式分別表示出點H，K，L和線段HK與線段HL的中點列式計算即可.

解：（1）①與點A點關于線段徑向對稱需要滿足：這個點與A點的中點在線段OM上，點B表示的數是-3，與點A表示的-1的中點是-2，不在線段OM上，所以點B不是；點C表示的數，與點A表示的-1的中點是，在線段OM上，所以點C是；點D表示的3與點A表示的-1的中點是1，在線段OM上，所以點D是；

綜上，答案為點C，點D；

②

結合數軸可知當點x與點A的中點落在點O與點M之間時（包括端點O與M）符合題意，即，解得，故答案為；

（2）解：移動時間t（t>0）秒時，點H，K，L表示的數分別是-5+t，-4+3t，-3+3t，

此時，線段HK的中點設為R1，表示的數為，

線段HL的中點設為R2，表示的數為，

當線段R1 R2，在線段OM上運動時，線段KL上至少存在一點與點H關于線段OM徑向對稱，

當R2經過點O時，2t-4=0時，t=2,

當R1經過點M時，時，，

所以當時，線段R1 R2在OM上運動，

所以當時，線段KL上至少存在一點與點H關于線段OM徑向對稱.