Question

【題目】如圖，直線y=﹣2x+4交y軸于點A，交拋物線 于點B（3，﹣2），拋物線經過點C（﹣1，0），交y軸于點D，點P是拋物線上的動點，作PE⊥DB交DB所在直線于點E．

（1）求拋物線的解析式；

（2）當△PDE為等腰直角三角形時，求出PE的長及P點坐標；

（3）在（2）的條件下，連接PB，將△PBE沿直線AB翻折，直接寫出翻折點后E的對稱點坐標．

Answer 1

【答案】（1）；（2）PE=5或2，P（2，﹣3）或（5，3）；（3）E的對稱點坐標為（，﹣）或（3.6，﹣1.2）．

【解析】試題分析：（1）把B（3，﹣2），C（﹣1，0）代入即可得到結論；

（2）由求得D（0，﹣2），根據等腰直角三角形的性質得到DE=PE，列方程即可得到結論；

（3）①當P點在直線BD的上方時，如圖1，設點E關于直線AB的對稱點為E′，過E′作E′H⊥DE于H，求得直線EE′的解析式為，設E′（m， ），根據勾股定理即可得到結論；②當P點在直線BD的下方時，如圖2，設點E關于直線AB的對稱點為E′，過E′作E′H⊥DE于H，得到直線EE′的解析式為，設E′（m， ），根據勾股定理即可得到結論．

試題解析：解：（1）把B（3，﹣2），C（﹣1，0）代入得： ，∴，∴拋物線的解析式為；

（2）設P（m， ），在中，當x=0時，y=﹣2，∴D（0，﹣2），∵B（3，﹣2），∴BD∥x軸，∵PE⊥BD，∴E（m，﹣2），∴DE=m，PE=，或PE=，∵△PDE為等腰直角三角形，且∠PED=90°，∴DE=PE，∴m= ，或m= ，解得：m=5，m=2，m=0（不合題意，舍去），∴PE=5或2，P（2，﹣3）或（5，3）；

（3）①當P點在直線BD的上方時，如圖1，設點E關于直線AB的對稱點為E′，過E′作E′H⊥DE于H，由（2）知，此時，E（5，﹣2），∴DE=5，∴BE′=BE=2，∵EE′⊥AB，∴設直線EE′的解析式為 ，∴﹣2=×5+b，∴b=﹣，∴直線EE′的解析式為，設E′（m， ），∴E′H=﹣2﹣= ，BH=3﹣m，∵E′H2+BH2=BE′2，∴（）2+（3﹣m）2=4，∴m=，m=5（舍去），∴E′（，﹣）；

②當P點在直線BD的下方時，如圖2，設點E關于直線AB的對稱點為E′，過E′作E′H⊥DE于H，由（2）知，此時，E（2，﹣2），∴DE=2，∴BE′=BE=1，∵EE′⊥AB，∴設直線EE′的解析式為，∴﹣2=×2+b，∴b=﹣3，∴直線EE′的解析式為，設E′（m， ），∴E′H==，BH=m﹣3，∵E′H2+BH2=BE′2，∴（）2+（m﹣3）2=1，∴m=3.6，m=2（舍去），∴E′（3.6，﹣1.2）．

綜上所述，E的對稱點坐標為（，﹣）或（3.6，﹣1.2）．