Question

【題目】如圖，在平行四邊形ABCD中，AB＝2，AD＝4，M是AD的中點，點E是線段AB上一動點(可以運動到點A和點B)，連接EM并延長交線段CD的延長線于點F．

(1) 如圖1，①求證：AE＝DF； ②若EM=3，∠FEA=45°，過點M作MG⊥EF交線段BC于點G，請直接寫出△GEF的的形狀，并求出點F到AB邊的距離；

（2）改變平行四邊形ABCD中∠B的度數(shù)，當∠B=90°時，可得到矩形ABCD（如圖2），請判斷△GEF的形狀，并說明理由；

（3）在(2)的條件下，取MG中點P，連接EP，點P隨著點E的運動而運動，當點E在線段AB上運動的過程中，請直接寫出△EPG的面積S的范圍．

Answer 1

【答案】（1）FH=3； (2)等腰直角三角形，證明詳見解析； （3） 1≤S≤2.

【解析】試題分析：

（1）①由已知條件易證△AME≌△DMF，從而可得AE=DF，ME=MF；②由ME=MF結(jié)合MG⊥EF于點M可得GE=GF，即可得到△GEF是等腰三角形；過點F作FN⊥BA的延長線于點N，結(jié)合∠FEA=45°可得△FEN是等腰直角三角形，即可由ME的長度求得FN的長度；

（2）過點G作GH⊥AD于點H，結(jié)合已知條件易證△AME≌△HGM，從而可得ME=MG，由此即可得到∠MEG=45°，結(jié)合（1）中所得可知△GEF是等腰三角形，由此可得△GEF此時是等腰直角三角形；

（3）由已知可得S=S△GME，由（2）可知△GME是等腰直角三角形，其面積為ME2，則由此可得S=ME2，結(jié)合在Rt△AME中，ME的長度隨AE的長度的增大而增大即可求出S的取值范圍了.

試題解析：

（1）①∵在平行四邊形ABCD中，AB∥CD，

∴∠EAM=∠FDM，∠AEM=∠DFM，

∵點M是AD的中點，

∴AM=DM，

∴△AME≌△DMF，

∴AE=DF；

②∵△AME≌△DMF，

∴ME=MF，

又∵MG⊥EF于點M，

∴MG是EF的垂直平分線，

∴GE=GF，

∴△GEF是等腰三角形；

過點F作FN⊥BA的延長線于點N，則∠FNE=90°，

∵∠AEF=45°，EM=3，

∴△EFN是等腰直角三角形，EF=6，

∴FN=，即點F到AB的距離為；

（2）和（1）同理可得△GEF是等腰三角形，過點G作GH⊥AD于點H，

又∵四邊形ABCD是矩形，GM⊥EF于點M，

∴∠GHA=∠GME=∠A=∠B=90°，

∴四邊形ABGH是矩形，∠AME+∠GMH=90°，∠HGM+∠MGH=90°，

∴GH=AB=2，∠AME=∠HGM，

又∵AM=AD=2，

∴AM=GH，

∴△AME≌△HGM，

∴ME=GM，

∴△MGE是等腰直角三角形，

∴∠MEG=45°，

又∵GE=GF，

∴∠FGE=∠MEG=45°，

∴∠EGF=180°-45°-45°=90°，

∴△GEF是等腰直角三角形；

（3）如圖3，由（2）可知△GEM是等腰直角三角形，

∴S△GME=EM2，

又∵點P是GM的中點，

∴S=S△GME= EM2=EM2，

∵在Rt△AME中，當AE=0時，ME最小=AM=2；當AE=AB=2時，ME最大=，

∴S最小=EM2=1，S最大=EM2=2，

∴S的取值范圍為： .