Question

【題目】在如圖所示的幾何體中，平面ADNM⊥平面ABCD，四邊形ABCD是菱形，ADNM是矩形， ，AB=2，AM=1，E是AB的中點．
（1）求證：平面DEM⊥平面ABM；
（2）在線段AM上是否存在點P，使二面角P﹣EC﹣D的大小為 ？若存在，求出AP的長；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵ABCD是菱形，∴AD=AB，∵∠DAB=60°，∴△ABD為等邊三角形，

E為AB中點，∴DE⊥AB，∴DE⊥CD，

∵ADMN是矩形，∴ND⊥AD，

又平面ADMN⊥平面ABCD，平面ADMN∩平面ABCD=AD，

∴ND⊥平面ABCD，∴ND⊥DE，

∵CD∩ND=D，∴DE⊥平面NDC，

∵DE平面MDE，∴平面MDE⊥平面NDC．

因為面ABM∥面NDC，∴平面DEM⊥平面ABM

（2）解：設存在P符合題意．

由（Ⅰ）知，DE、DC、DN兩兩垂直，以D為原點，建立空間直角坐標系D﹣xyz（如圖），

則D（0，0，0），A（ ，﹣1，0），E（ ，0，0），C（0，2，0），P（ ，﹣1，h）（0≤h≤1）．

∴ =（0，﹣1，h）， =（﹣ ，2，0），設平面PEC的法向量為 =（x，y，z），

則 令x=2h，則平面PEC的一個法向量為 =（2h， h， ）

取平面ECD的法向量 =（0，0，1），

cos45°= ，解得h= ∈[0，1]，

即存在點P，使二面角P﹣EC﹣D的大小為 ，此時AP= ．

【解析】（1）推導出DE⊥CD，ND⊥AD，從而ND⊥DE，進而DE⊥平面NDC，由此能證明平面MAE⊥平面NDC．（2）以D為原點，建立空間直角坐標系D﹣xyz，求出平面PEC的一個法向量、平面ECD的法向量．利用向量的夾角公式，建立方程，即可得出結論．