Question

【題目】如圖，△ABC和△FPQ均是等邊三角形，點D、E、F分別是△ABC三邊的中點，點P在AB邊上，連接EF、QE．若AB=6，PB=1，則QE= ．

Answer 1

【答案】2
【解析】解：連結FD，如，
∵△ABC為等邊三角形，
∴AC=AB=6，∠A=60°，
∵點D、E、F分別是等邊△ABC三邊的中點，AB=6，PB=1，
∴AD=BD=AF=3，DP=DB﹣PB=3﹣1=2，EF為△ABC的中位線，
∴EF∥AB，EF= AB=3，△ADF為等邊三角形，
∴∠FDA=60°，
∴∠1+∠3=60°，
∵△PQF為等邊三角形，
∴∠2+∠3=60°，FP=FQ，
∴∠1=∠2，
∵在△FDP和△FEQ中
，
∴△FDP≌△FEQ（SAS），
∴DP=QE，
∵DP=2，
∴QE=2．
故答案為：2．

連結FD，根據等邊三角形的性質，由△ABC為等邊三角形得到AC=AB=6，∠A=60°，再根據點D、E、F分別是等邊△ABC三邊的中點，則AD=BD=AF=3，DP=2，EF為△ABC的中位線，于是可判斷△ADF為等邊三角形，得到∠FDA=60°，利用三角形中位線的性質得EF∥AB，EF= AB=3，根據平行線性質得∠1+∠3=60°；又由于△PQF為等邊三角形，則∠2+∠3=60°，FP=FQ，所以∠1=∠2，然后根據“SAS”判斷△FDP≌△FEQ，所以DP=QE=2．