Question

【題目】已知：如圖，銳角△ABC的兩條高BD、CE相交于點O，且OB=OC．

(1)求證：△ABC是等腰三角形；

(2)判斷點O是否在∠BAC的角平分線上，并說明理由．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2) 點O在∠BAC的角平分線上，理由見解析.

【解析】

（1）通過證明∠ABC=∠ACB，由等角對等邊得到AB=AC；（2）先證明A、O在BC的垂直平分線上，再由三線合一得到AO是∠BAC的角平分線.

(1)證明：∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，

∵銳角△ABC的兩條高BD、CE相交于點O，

∴∠BEC＝∠BDC＝90°，

∵∠BEC＋∠BCE＋∠ABC＝∠BDC＋∠DBC

＋∠ACB＝180°，

∴∠ABC＝∠ACB，

∴AB＝AC，

∴△ABC是等腰三角形；

(2)解：連接AO并延長交BC于E，

∵AB＝AC，OB＝OC，∴AE是BC的垂直平分線，

∴∠BAE＝∠CAE，∴點O在∠BAC的角平分線上．