Question

【題目】（20分）

發電機和電動機具有裝置上的類似性，源于它們機理上的類似性。直流發電機和直流電動機的工作原理可以簡化為如圖1、圖2所示的情景。

在豎直向下的磁感應強度為B的勻強磁場中，兩根光滑平行金屬軌道MN、PQ固定在水平面內，相距為L，電阻不計。電阻為R的金屬導體棒ab垂直于MN、PQ放在軌道上，與軌道接觸良好，以速度v（v平行于MN）向右做勻速運動。

圖1軌道端點MP間接有阻值為r的電阻，導體棒ab受到水平向右的外力作用。圖2軌道端點MP間接有直流電源，導體棒ab通過滑輪勻速提升重物，電路中的電流為I。

（1）求在Δt時間內，圖1“發電機”產生的電能和圖2“電動機”輸出的機械能。

（2）從微觀角度看，導體棒ab中的自由電荷所受洛倫茲力在上述能量轉化中起著重要作用。為了方便，可認為導體棒中的自由電荷為正電荷。

a．請在圖3（圖1的導體棒ab）、圖4（圖2的導體棒ab）中，分別畫出自由電荷所受洛倫茲力的示意圖。

b．我們知道，洛倫茲力對運動電荷不做功。那么，導體棒ab中的自由電荷所受洛倫茲力是如何在能量轉化過程中起到作用的呢？請以圖2“電動機”為例，通過計算分析說明。

Answer 1

【答案】⑴E1＝，E2＝ILBvΔt；⑵a．；b．略，見解析。

【解析】⑴圖1中由于導體棒ab運動切割磁感線，回路中產生感應電流I1＝

由于電流做功，導體棒與電阻發熱產生焦耳熱，由焦耳定律、閉合電路歐姆定律和能量守恒定律可知，圖1“發電機”產生的電能為：E1＝

在圖2中，對重物和導體棒分別應用平衡條件有：T＝mg，T＝ILB

提升重物做功為：W＝mgvΔt

根據功能關系可知，圖2“電動機”輸出的機械能為：E2＝W

解得：E2＝ILBvΔt

⑵a．根據右手定則可知，圖1中電流方向為b→a

根據左手定則可以判斷出圖1棒中自由電荷所受洛倫茲力f洛方向水平向左

由圖2電路結構可知，棒中電流方向為a→b，導體棒中自由電荷為自由電子，因此沿棒移動速率v1的方向為b→a，同時由于棒水平向右勻速運動速率為v，其合速度v合方向應水平向右偏向棒a端

根據左手定則可以判斷圖2棒中自由電荷所受洛倫茲力f洛′方向水平向右偏向棒b端，與v合垂直

兩情況下棒中自由電荷所受洛倫茲力的示意圖如下圖所示

b．設自由電荷量為q沿導體棒定向移動的速率為u。

如上右圖所示，沿棒方向的洛倫茲力，做負功

垂直棒方向的洛倫茲力，做正功

所示，即導體棒中一個自由電荷所受的洛倫茲力做功為零。

做負功，阻礙自由電荷的定向移動，宏觀上表現為“反電動勢”，消耗電源的電能；做正功，宏觀上表現為安培力做正功，使機械能增加。大量自由電荷所受洛倫茲力做功的宏觀表現是將電能轉化為等量的機械能，在此過程中洛倫茲力通過兩個分力做功起到“傳遞能量的作用。