Question

【題目】已知函數（是自然對數的底數）

（1）若直線為曲線的一條切線，求實數的值；

（2）若函數在區間上為單調函數，求實數的取值范圍；

（3）設，若在定義域上有極值點（極值點是指函數取得極值時對應的自變量的值），求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）或.

【解析】試題分析：

（1）設切點，根據導數的幾何意義求解．（2）分單調遞增合遞減兩種情況考慮，將問題轉化為導函數大（小）于等于零在恒成立求解可得的范圍．（3）由題意得，令，然后對實數的取值進行分類討論，并根據的符號去掉絕對值，再結合導數得到函數的單調性，進而得到函數有極值時實數的取值范圍．

試題解析：

（1）設切點，則（*）

又

，代入（*）得

．

（2）設，

當單調遞增時，

則在上恒成立，

∴ 在上恒成立，

又

解得．

當單調遞減時，

則在上恒成立，

∴在上恒成立，

綜上單調時的取值范圍為．

（3），

令則，

當時， ， 單調遞增，

∴，即.

1）當，即時，

∴，

則單調遞增，

在上無極值點．

2）當即時，

∴

I）當，即時，

在遞增，

，

在上遞增，

在上無極值點．

II）當時，由

在遞減， 遞增，

又

使得

在上單調遞減，在上單調遞增，

在上有一個極小值點．

3）當時， ，

在上單調遞減，在上單調遞增，

又，

在上恒成立，

無極值點．

4）當時，

在遞增，

使得，

當時， 當時， ，

，

，

令，

下面證明，即證，

又

，

即證，所以結論成立，即，

在遞減， 遞增，

為的極小值.

綜上當或時， 在上有極值點．